Integralen av $$$e^{- 5 x}$$$

Bestäm $$$\int e^{- 5 x}\, dx$$$.

Låt $$$u=- 5 x$$$ vara.

Då $$$du=\left(- 5 x\right)^{\prime }dx = - 5 dx$$$ (stegen kan ses »), och vi har att $$$dx = - \frac{du}{5}$$$.

Alltså,

$${\color{red}{\int{e^{- 5 x} d x}}} = {\color{red}{\int{\left(- \frac{e^{u}}{5}\right)d u}}}$$

Tillämpa konstantfaktorregeln $$$\int c f{\left(u \right)}\, du = c \int f{\left(u \right)}\, du$$$ med $$$c=- \frac{1}{5}$$$ och $$$f{\left(u \right)} = e^{u}$$$:

$${\color{red}{\int{\left(- \frac{e^{u}}{5}\right)d u}}} = {\color{red}{\left(- \frac{\int{e^{u} d u}}{5}\right)}}$$

Integralen av den exponentiella funktionen är $$$\int{e^{u} d u} = e^{u}$$$:

$$- \frac{{\color{red}{\int{e^{u} d u}}}}{5} = - \frac{{\color{red}{e^{u}}}}{5}$$

Kom ihåg att $$$u=- 5 x$$$:

$$- \frac{e^{{\color{red}{u}}}}{5} = - \frac{e^{{\color{red}{\left(- 5 x\right)}}}}{5}$$

Alltså,

$$\int{e^{- 5 x} d x} = - \frac{e^{- 5 x}}{5}$$

Lägg till integrationskonstanten:

$$\int{e^{- 5 x} d x} = - \frac{e^{- 5 x}}{5}+C$$

$$$\int e^{- 5 x}\, dx = - \frac{e^{- 5 x}}{5} + C$$$A