|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Andra derivatan av $$$\ln\left(x\right)$$$
Relaterade kalkylatorer: Derivata-beräknare, Kalkylator för logaritmisk derivering
Din inmatning
Bestäm $$$\frac{d^{2}}{dx^{2}} \left(\ln\left(x\right)\right)$$$.
Lösning
Bestäm den första derivatan $$$\frac{d}{dx} \left(\ln\left(x\right)\right)$$$
Derivatan av den naturliga logaritmen är $$$\frac{d}{dx} \left(\ln\left(x\right)\right) = \frac{1}{x}$$$:
$${\color{red}\left(\frac{d}{dx} \left(\ln\left(x\right)\right)\right)} = {\color{red}\left(\frac{1}{x}\right)}$$Alltså, $$$\frac{d}{dx} \left(\ln\left(x\right)\right) = \frac{1}{x}$$$.
Därefter, $$$\frac{d^{2}}{dx^{2}} \left(\ln\left(x\right)\right) = \frac{d}{dx} \left(\frac{1}{x}\right)$$$
Tillämpa potensregeln $$$\frac{d}{dx} \left(x^{n}\right) = n x^{n - 1}$$$ med $$$n = -1$$$:
$${\color{red}\left(\frac{d}{dx} \left(\frac{1}{x}\right)\right)} = {\color{red}\left(- \frac{1}{x^{2}}\right)}$$Alltså, $$$\frac{d}{dx} \left(\frac{1}{x}\right) = - \frac{1}{x^{2}}$$$.
Således, $$$\frac{d^{2}}{dx^{2}} \left(\ln\left(x\right)\right) = - \frac{1}{x^{2}}$$$.
Svar
$$$\frac{d^{2}}{dx^{2}} \left(\ln\left(x\right)\right) = - \frac{1}{x^{2}}$$$A