SVD de $$$\left[\begin{array}{cc}\frac{\sqrt{2}}{2} & \frac{\sqrt{2}}{2}\\0 & 0\end{array}\right]$$$

Encontre a decomposição em valores singulares (SVD) de $$$\left[\begin{array}{cc}\frac{\sqrt{2}}{2} & \frac{\sqrt{2}}{2}\\0 & 0\end{array}\right]$$$.

Encontre a transposta da matriz: $$$\left[\begin{array}{cc}\frac{\sqrt{2}}{2} & \frac{\sqrt{2}}{2}\\0 & 0\end{array}\right]^{T} = \left[\begin{array}{cc}\frac{\sqrt{2}}{2} & 0\\\frac{\sqrt{2}}{2} & 0\end{array}\right]$$$ (para ver as etapas, veja calculadora de transposição de matriz).

Multiplique a matriz pela sua transposta: $$$W = \left[\begin{array}{cc}\frac{\sqrt{2}}{2} & \frac{\sqrt{2}}{2}\\0 & 0\end{array}\right]\cdot \left[\begin{array}{cc}\frac{\sqrt{2}}{2} & 0\\\frac{\sqrt{2}}{2} & 0\end{array}\right] = \left[\begin{array}{cc}1 & 0\\0 & 0\end{array}\right]$$$ (para ver as etapas, consulte a calculadora de multiplicação de matrizes).

Agora, encontre os autovalores e os autovetores de $$$W$$$ (para ver os passos, consulte a calculadora de autovalores e autovetores).

Autovalor: $$$1$$$, autovetor: $$$\left[\begin{array}{c}1\\0\end{array}\right]$$$.

Autovalor: $$$0$$$, autovetor: $$$\left[\begin{array}{c}0\\1\end{array}\right]$$$.

Encontre as raízes quadradas dos autovalores não nulos ($$$\sigma_{i}$$$):

$$$\sigma_{1} = 1$$$

A matriz $$$\Sigma$$$ é uma matriz nula com $$$\sigma_{i}$$$ na sua diagonal: $$$\Sigma = \left[\begin{array}{cc}1 & 0\\0 & 0\end{array}\right]$$$.

As colunas da matriz $$$U$$$ são os vetores normalizados (unitários): $$$U = \left[\begin{array}{cc}1 & 0\\0 & 1\end{array}\right]$$$ (para os passos para obter um vetor unitário, consulte calculadora de vetor unitário).

Agora, $$$v_{i} = \frac{1}{\sigma_{i}}\cdot \left[\begin{array}{cc}\frac{\sqrt{2}}{2} & \frac{\sqrt{2}}{2}\\0 & 0\end{array}\right]^{T}\cdot u_{i}$$$:

$$$v_{1} = \frac{1}{\sigma_{1}}\cdot \left[\begin{array}{cc}\frac{\sqrt{2}}{2} & \frac{\sqrt{2}}{2}\\0 & 0\end{array}\right]^{T}\cdot u_{1} = \frac{1}{1}\cdot \left[\begin{array}{cc}\frac{\sqrt{2}}{2} & 0\\\frac{\sqrt{2}}{2} & 0\end{array}\right]\cdot \left[\begin{array}{c}1\\0\end{array}\right] = \left[\begin{array}{c}\frac{\sqrt{2}}{2}\\\frac{\sqrt{2}}{2}\end{array}\right]$$$ (para as etapas, consulte calculadora de multiplicação de matriz por escalar e calculadora de multiplicação de matrizes).

Como esgotamos os $$$\sigma_{i}$$$ não nulos e precisamos de mais um vetor, encontre um vetor ortogonal a todos os vetores encontrados determinando o espaço nulo da matriz cujas linhas são esses vetores: $$$\left[\begin{array}{c}-1\\1\end{array}\right]$$$ (para ver os passos, consulte calculadora de espaço nulo).

Normalize o vetor: ele se torna $$$\left[\begin{array}{c}- \frac{\sqrt{2}}{2}\\\frac{\sqrt{2}}{2}\end{array}\right]$$$, (para os passos, veja calculadora de vetor unitário).

Portanto, $$$V = \left[\begin{array}{cc}\frac{\sqrt{2}}{2} & - \frac{\sqrt{2}}{2}\\\frac{\sqrt{2}}{2} & \frac{\sqrt{2}}{2}\end{array}\right]$$$.

As matrizes $$$U$$$, $$$\Sigma$$$ e $$$V$$$ são tais que a matriz inicial $$$\left[\begin{array}{cc}\frac{\sqrt{2}}{2} & \frac{\sqrt{2}}{2}\\0 & 0\end{array}\right] = U \Sigma V^T$$$.

$$$U = \left[\begin{array}{cc}1 & 0\\0 & 1\end{array}\right]$$$A

$$$\Sigma = \left[\begin{array}{cc}1 & 0\\0 & 0\end{array}\right]$$$A

$$$V = \left[\begin{array}{cc}\frac{\sqrt{2}}{2} & - \frac{\sqrt{2}}{2}\\\frac{\sqrt{2}}{2} & \frac{\sqrt{2}}{2}\end{array}\right]\approx \left[\begin{array}{cc}0.707106781186548 & -0.707106781186548\\0.707106781186548 & 0.707106781186548\end{array}\right]$$$A