Espaço nulo de $$$\left[\begin{array}{cc}2 & 1 - i\\1 + i & 1\end{array}\right]$$$

Encontre o espaço nulo de $$$\left[\begin{array}{cc}2 & 1 - i\\1 + i & 1\end{array}\right]$$$.

A forma escalonada reduzida por linhas da matriz é $$$\left[\begin{array}{cc}1 & \frac{1}{2} - \frac{i}{2}\\0 & 0\end{array}\right]$$$ (para os passos, veja calculadora RREF).

Para encontrar o espaço nulo, resolva a equação matricial $$$\left[\begin{array}{cc}1 & \frac{1}{2} - \frac{i}{2}\\0 & 0\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}x_{1}\\x_{2}\end{array}\right] = \left[\begin{array}{c}0\\0\end{array}\right].$$$

Se considerarmos $$$x_{2} = t$$$, então $$$x_{1} = t \left(- \frac{1}{2} + \frac{i}{2}\right)$$$.

Assim, $$$\mathbf{\vec{x}} = \left[\begin{array}{c}t \left(- \frac{1}{2} + \frac{i}{2}\right)\\t\end{array}\right] = \left[\begin{array}{c}- \frac{1}{2} + \frac{i}{2}\\1\end{array}\right] t.$$$

Este é o espaço nulo.

A nulidade de uma matriz é a dimensão da base do espaço nulo.

Assim, a nulidade da matriz é $$$1$$$.

A base do espaço nulo é $$$\left\{\left[\begin{array}{c}- \frac{1}{2} + \frac{i}{2}\\1\end{array}\right]\right\} = \left\{\left[\begin{array}{c}-0.5 + 0.5 i\\1\end{array}\right]\right\}.$$$A

A nulidade da matriz é $$$1$$$A.