Ângulo entre $$$\left\langle 1, 0, -1\right\rangle$$$ e $$$\left\langle 1, 1, -2\right\rangle$$$

Calcule o ângulo entre os vetores $$$\mathbf{\vec{u}} = \left\langle 1, 0, -1\right\rangle$$$ e $$$\mathbf{\vec{v}} = \left\langle 1, 1, -2\right\rangle$$$.

Primeiro, calcule o produto escalar: $$$\mathbf{\vec{u}}\cdot \mathbf{\vec{v}} = 3$$$ (para ver as etapas, consulte calculadora de produto escalar).

Em seguida, encontre os comprimentos dos vetores:

$$$\mathbf{\left\lvert\vec{u}\right\rvert} = \sqrt{2}$$$ (para etapas, consulte calculadora de comprimento vetorial).

$$$\mathbf{\left\lvert\vec{v}\right\rvert} = \sqrt{6}$$$ (para etapas, consulte calculadora de comprimento vetorial).

Por fim, o ângulo é dado por $$$\cos{\left(\phi \right)} = \frac{\mathbf{\vec{u}}\cdot \mathbf{\vec{v}}}{\mathbf{\left\lvert\vec{u}\right\rvert} \mathbf{\left\lvert\vec{v}\right\rvert}} = \frac{3}{\left(\sqrt{2}\right)\cdot \left(\sqrt{6}\right)} = \frac{\sqrt{3}}{2}$$$ (no caso de números complexos, precisamos tirar a parte real do produto escalar).

$$$\phi = \operatorname{acos}{\left(\frac{\sqrt{3}}{2} \right)} = \frac{\pi}{6} = 30^{\circ}$$$

Ângulo em radianos: $$$\phi = \frac{\pi}{6}\approx 0.523598775598299$$$A.

Ângulo em graus: $$$\phi = 30^{\circ}$$$A.