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Calculadora do Componente Tangencial da Aceleração

Encontre a componente tangencial da aceleração passo a passo

A calculadora encontrará a componente tangencial da aceleração do objeto, descrito pela função vetorial, no ponto dado, mostrando os passos.

Calculadoras relacionadas: Calculadora de Curvatura, Calculadora do Componente Normal da Aceleração

$$$\langle$$$ $$$\rangle$$$
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Encontre o componente tangencial da aceleração para $$$\mathbf{\vec{r}\left(t\right)} = \left\langle t, t^{2}, t^{3}\right\rangle$$$.

Solução

Encontre a derivada de $$$\mathbf{\vec{r}\left(t\right)}$$$: $$$\mathbf{\vec{r}^{\prime}\left(t\right)} = \left\langle 1, 2 t, 3 t^{2}\right\rangle$$$ (para os passos, veja calculadora de derivadas).

Encontre o módulo de $$$\mathbf{\vec{r}^{\prime}\left(t\right)}$$$: $$$\mathbf{\left\lvert \mathbf{\vec{r}^{\prime}\left(t\right)}\right\rvert} = \sqrt{9 t^{4} + 4 t^{2} + 1}$$$ (para ver os passos, consulte calculadora de módulo).

Encontre a derivada de $$$\mathbf{\vec{r}^{\prime}\left(t\right)}$$$: $$$\mathbf{\vec{r}^{\prime\prime}\left(t\right)} = \left\langle 0, 2, 6 t\right\rangle$$$ (para os passos, veja calculadora de derivadas).

Calcule o produto escalar: $$$\mathbf{\vec{r}^{\prime}\left(t\right)}\cdot \mathbf{\vec{r}^{\prime\prime}\left(t\right)} = 18 t^{3} + 4 t$$$ (para ver as etapas, consulte calculadora de produto escalar).

Finalmente, a componente tangencial da aceleração é $$$a_T\left(t\right) = \frac{\mathbf{\vec{r}^{\prime}\left(t\right)}\cdot \mathbf{\vec{r}^{\prime\prime}\left(t\right)}}{\mathbf{\left\lvert \mathbf{\vec{r}^{\prime}\left(t\right)}\right\rvert}} = \frac{18 t^{3} + 4 t}{\sqrt{9 t^{4} + 4 t^{2} + 1}}.$$$

Resposta

A componente tangencial da aceleração é $$$a_T\left(t\right) = \frac{18 t^{3} + 4 t}{\sqrt{9 t^{4} + 4 t^{2} + 1}}$$$A.