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Calculadora de plano tangente

Encontrar planos tangentes passo a passo

A calculadora tentará encontrar o plano tangente à curva explícita e implícita no ponto dado, com etapas mostradas.

$$$($$$
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$$$)$$$

Se a calculadora não calculou algo ou você identificou um erro, ou tem uma sugestão/comentário, escreva nos comentários abaixo.

Sua entrada

Calcule o plano tangente a $$$x^{2} + y^{2} + z^{2} = 14$$$ em $$$\left(x, y, z\right) = \left(1, 3, 2\right)$$$.

Solução

A função pode ser representada na forma $$$F{\left(x,y,z \right)} = 0$$$, onde $$$F{\left(x,y,z \right)} = x^{2} + y^{2} + z^{2} - 14$$$.

Encontre as derivadas parciais.

$$$\frac{\partial}{\partial x} \left(F{\left(x,y,z \right)}\right) = \frac{\partial}{\partial x} \left(x^{2} + y^{2} + z^{2} - 14\right) = 2 x$$$ (para as etapas, consulte calculadora de derivadas parciais).

$$$\frac{\partial}{\partial y} \left(F{\left(x,y,z \right)}\right) = \frac{\partial}{\partial y} \left(x^{2} + y^{2} + z^{2} - 14\right) = 2 y$$$ (para as etapas, consulte calculadora de derivadas parciais).

$$$\frac{\partial}{\partial z} \left(F{\left(x,y,z \right)}\right) = \frac{\partial}{\partial z} \left(x^{2} + y^{2} + z^{2} - 14\right) = 2 z$$$ (para as etapas, consulte calculadora de derivadas parciais).

Avalie as derivadas no ponto dado.

$$$\frac{\partial}{\partial x} \left(x^{2} + y^{2} + z^{2} - 14\right)|_{\left(\left(x, y, z\right) = \left(1, 3, 2\right)\right)} = \left(2 x\right)|_{\left(\left(x, y, z\right) = \left(1, 3, 2\right)\right)} = 2$$$

$$$\frac{\partial}{\partial y} \left(x^{2} + y^{2} + z^{2} - 14\right)|_{\left(\left(x, y, z\right) = \left(1, 3, 2\right)\right)} = \left(2 y\right)|_{\left(\left(x, y, z\right) = \left(1, 3, 2\right)\right)} = 6$$$

$$$\frac{\partial}{\partial z} \left(x^{2} + y^{2} + z^{2} - 14\right)|_{\left(\left(x, y, z\right) = \left(1, 3, 2\right)\right)} = \left(2 z\right)|_{\left(\left(x, y, z\right) = \left(1, 3, 2\right)\right)} = 4$$$

A equação do plano tangente é $$$\frac{\partial}{\partial x} \left(F{\left(x,y,z \right)}\right)|_{\left(\left(x, y, z\right) = \left(x_{0}, y_{0}, z_{0}\right)\right)} \left(x - x_{0}\right) + \frac{\partial}{\partial y} \left(F{\left(x,y,z \right)}\right)|_{\left(\left(x, y, z\right) = \left(x_{0}, y_{0}, z_{0}\right)\right)} \left(y - y_{0}\right) + \frac{\partial}{\partial z} \left(F{\left(x,y,z \right)}\right)|_{\left(\left(x, y, z\right) = \left(x_{0}, y_{0}, z_{0}\right)\right)} \left(z - z_{0}\right) = 0.$$$

No nosso caso, $$$2 \left(x - 1\right) + 6 \left(y - 3\right) + 4 \left(z - 2\right) = 0$$$.

Isso pode ser reescrito como $$$2 x + 6 y + 4 z = 28$$$.

Ou, mais simplesmente: $$$z = - \frac{x}{2} - \frac{3 y}{2} + 7$$$.

Responder

A equação do plano tangente é $$$z = - \frac{x}{2} - \frac{3 y}{2} + 7 = - 0.5 x - 1.5 y + 7$$$A.