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Calculadora de plano tangente
Encuentra planos tangentes paso a paso
La calculadora intentará encontrar el plano tangente a la curva explícita e implícita en el punto dado, con los pasos que se muestran.
Tu aportación
Calcula el plano tangente a $$$x^{2} + y^{2} + z^{2} = 14$$$ en $$$\left(x, y, z\right) = \left(1, 3, 2\right)$$$.
Solución
La función se puede representar en la forma $$$F{\left(x,y,z \right)} = 0$$$, donde $$$F{\left(x,y,z \right)} = x^{2} + y^{2} + z^{2} - 14$$$.
Encuentra las derivadas parciales.
$$$\frac{\partial}{\partial x} \left(F{\left(x,y,z \right)}\right) = \frac{\partial}{\partial x} \left(x^{2} + y^{2} + z^{2} - 14\right) = 2 x$$$ (para conocer los pasos, consulte calculadora de derivadas parciales).
$$$\frac{\partial}{\partial y} \left(F{\left(x,y,z \right)}\right) = \frac{\partial}{\partial y} \left(x^{2} + y^{2} + z^{2} - 14\right) = 2 y$$$ (para conocer los pasos, consulte calculadora de derivadas parciales).
$$$\frac{\partial}{\partial z} \left(F{\left(x,y,z \right)}\right) = \frac{\partial}{\partial z} \left(x^{2} + y^{2} + z^{2} - 14\right) = 2 z$$$ (para conocer los pasos, consulte calculadora de derivadas parciales).
Evalúa las derivadas en el punto dado.
$$$\frac{\partial}{\partial x} \left(x^{2} + y^{2} + z^{2} - 14\right)|_{\left(\left(x, y, z\right) = \left(1, 3, 2\right)\right)} = \left(2 x\right)|_{\left(\left(x, y, z\right) = \left(1, 3, 2\right)\right)} = 2$$$
$$$\frac{\partial}{\partial y} \left(x^{2} + y^{2} + z^{2} - 14\right)|_{\left(\left(x, y, z\right) = \left(1, 3, 2\right)\right)} = \left(2 y\right)|_{\left(\left(x, y, z\right) = \left(1, 3, 2\right)\right)} = 6$$$
$$$\frac{\partial}{\partial z} \left(x^{2} + y^{2} + z^{2} - 14\right)|_{\left(\left(x, y, z\right) = \left(1, 3, 2\right)\right)} = \left(2 z\right)|_{\left(\left(x, y, z\right) = \left(1, 3, 2\right)\right)} = 4$$$
La ecuación del plano tangente es $$$\frac{\partial}{\partial x} \left(F{\left(x,y,z \right)}\right)|_{\left(\left(x, y, z\right) = \left(x_{0}, y_{0}, z_{0}\right)\right)} \left(x - x_{0}\right) + \frac{\partial}{\partial y} \left(F{\left(x,y,z \right)}\right)|_{\left(\left(x, y, z\right) = \left(x_{0}, y_{0}, z_{0}\right)\right)} \left(y - y_{0}\right) + \frac{\partial}{\partial z} \left(F{\left(x,y,z \right)}\right)|_{\left(\left(x, y, z\right) = \left(x_{0}, y_{0}, z_{0}\right)\right)} \left(z - z_{0}\right) = 0.$$$
En nuestro caso, $$$2 \left(x - 1\right) + 6 \left(y - 3\right) + 4 \left(z - 2\right) = 0$$$.
Esto se puede reescribir como $$$2 x + 6 y + 4 z = 28$$$.
O, más simplemente: $$$z = - \frac{x}{2} - \frac{3 y}{2} + 7$$$.
Respuesta
La ecuación del plano tangente es $$$z = - \frac{x}{2} - \frac{3 y}{2} + 7 = - 0.5 x - 1.5 y + 7$$$A.