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Multiplicadores de Lagrange: encontre os máximos e mínimos de $$$f{\left(x,y \right)} = x y$$$, sujeito a $$$x = 0$$$
Calculadora relacionada: Calculadora de Pontos Críticos, Extremos e Pontos de Sela
Sua entrada
Encontre os valores máximo e mínimo de $$$f{\left(x,y \right)} = x y$$$ sujeitos à restrição $$$x = 0$$$.
Solução
Atenção! Esta calculadora não verifica as condições para aplicar o método dos multiplicadores de Lagrange. Use-a por sua conta e risco: a resposta pode estar incorreta.
Forme a Lagrangiana: $$$L{\left(x,y,\lambda \right)} = x y + \lambda x$$$.
Encontre todas as derivadas parciais de primeira ordem:
$$$\frac{\partial}{\partial x} \left(x y + \lambda x\right) = \lambda + y$$$ (para ver as etapas, consulte calculadora de derivadas parciais).
$$$\frac{\partial}{\partial y} \left(x y + \lambda x\right) = x$$$ (para ver as etapas, consulte calculadora de derivadas parciais).
$$$\frac{\partial}{\partial \lambda} \left(x y + \lambda x\right) = x$$$ (para ver as etapas, consulte calculadora de derivadas parciais).
Em seguida, resolva o sistema $$$\begin{cases} \frac{\partial L}{\partial x} = 0 \\ \frac{\partial L}{\partial y} = 0 \\ \frac{\partial L}{\partial \lambda} = 0 \end{cases}$$$, ou $$$\begin{cases} \lambda + y = 0 \\ x = 0 \\ x = 0 \end{cases}$$$.
O sistema possui a seguinte solução real: $$$\left(x, y\right) = \left(0, - \lambda\right)$$$.
$$$f{\left(0,- \lambda \right)} = 0$$$
Como encontramos apenas um valor, você terá de verificar ainda se ele é o máximo ou o mínimo. Para isso, considere outro ponto que satisfaça a(s) restrição(ões) e calcule o valor da função nesse ponto. Se o valor nesse novo ponto for menor que o valor no ponto original, então o ponto original é o máximo. Pelo contrário, se o valor no novo ponto for maior, então o ponto original é o mínimo.