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Multiplicadores de Lagrange: encontre os máximos e mínimos de $$$f{\left(x,y,z \right)} = x y^{2} z^{3}$$$, sujeito a $$$x^{2} + y^{2} + z^{2} = 6$$$
Calculadora relacionada: Calculadora de Pontos Críticos, Extremos e Pontos de Sela
Sua entrada
Encontre os valores máximo e mínimo de $$$f{\left(x,y,z \right)} = x y^{2} z^{3}$$$ sujeitos à restrição $$$x^{2} + y^{2} + z^{2} = 6$$$.
Solução
Atenção! Esta calculadora não verifica as condições para aplicar o método dos multiplicadores de Lagrange. Use-a por sua conta e risco: a resposta pode estar incorreta.
Reescreva a restrição $$$x^{2} + y^{2} + z^{2} = 6$$$ como $$$x^{2} + y^{2} + z^{2} - 6 = 0$$$.
Forme a Lagrangiana: $$$L{\left(x,y,z,\lambda \right)} = x y^{2} z^{3} + \lambda \left(x^{2} + y^{2} + z^{2} - 6\right)$$$.
Encontre todas as derivadas parciais de primeira ordem:
$$$\frac{\partial}{\partial x} \left(x y^{2} z^{3} + \lambda \left(x^{2} + y^{2} + z^{2} - 6\right)\right) = 2 \lambda x + y^{2} z^{3}$$$ (para ver as etapas, consulte calculadora de derivadas parciais).
$$$\frac{\partial}{\partial y} \left(x y^{2} z^{3} + \lambda \left(x^{2} + y^{2} + z^{2} - 6\right)\right) = 2 y \left(\lambda + x z^{3}\right)$$$ (para ver as etapas, consulte calculadora de derivadas parciais).
$$$\frac{\partial}{\partial z} \left(x y^{2} z^{3} + \lambda \left(x^{2} + y^{2} + z^{2} - 6\right)\right) = z \left(2 \lambda + 3 x y^{2} z\right)$$$ (para ver as etapas, consulte calculadora de derivadas parciais).
$$$\frac{\partial}{\partial \lambda} \left(x y^{2} z^{3} + \lambda \left(x^{2} + y^{2} + z^{2} - 6\right)\right) = x^{2} + y^{2} + z^{2} - 6$$$ (para ver as etapas, consulte calculadora de derivadas parciais).
Em seguida, resolva o sistema $$$\begin{cases} \frac{\partial L}{\partial x} = 0 \\ \frac{\partial L}{\partial y} = 0 \\ \frac{\partial L}{\partial z} = 0 \\ \frac{\partial L}{\partial \lambda} = 0 \end{cases}$$$, ou $$$\begin{cases} 2 \lambda x + y^{2} z^{3} = 0 \\ 2 y \left(\lambda + x z^{3}\right) = 0 \\ z \left(2 \lambda + 3 x y^{2} z\right) = 0 \\ x^{2} + y^{2} + z^{2} - 6 = 0 \end{cases}.$$$
O sistema possui as seguintes soluções reais: $$$\left(x, y, z\right) = \left(\sqrt{6 - y^{2}}, y, 0\right)$$$, $$$\left(x, y, z\right) = \left(\sqrt{6 - z^{2}}, 0, z\right)$$$, $$$\left(x, y, z\right) = \left(- \sqrt{6 - y^{2}}, y, 0\right)$$$, $$$\left(x, y, z\right) = \left(- \sqrt{6 - z^{2}}, 0, z\right)$$$.
$$$f{\left(\sqrt{6 - y^{2}},y,0 \right)} = 0$$$
$$$f{\left(\sqrt{6 - z^{2}},0,z \right)} = 0$$$
$$$f{\left(- \sqrt{6 - y^{2}},y,0 \right)} = 0$$$
$$$f{\left(- \sqrt{6 - z^{2}},0,z \right)} = 0$$$
Como encontramos apenas um valor, você terá de verificar ainda se ele é o máximo ou o mínimo. Para isso, considere outro ponto que satisfaça a(s) restrição(ões) e calcule o valor da função nesse ponto. Se o valor nesse novo ponto for menor que o valor no ponto original, então o ponto original é o máximo. Pelo contrário, se o valor no novo ponto for maior, então o ponto original é o mínimo.