English | Español
  1. Lar
  2. calculadoras
  3. calculadoras: Cálculo III
  4. calculadora de cálculo

Multiplicadores Lagrange: encontre máximos e mínimos de $$$f{\left(x,y \right)} = 81 x^{2} + y^{2}$$$, sujeito a $$$4 x^{2} + y^{2} = 9$$$

A calculadora tentará encontrar os máximos e mínimos da função multivariável $$$f{\left(x,y \right)} = 81 x^{2} + y^{2}$$$, sujeita à restrição $$$4 x^{2} + y^{2} = 9$$$, usando o método dos multiplicadores de Lagrange, com as etapas mostradas.

Calculadora relacionada: Calculadora de pontos críticos, extremos e pontos de sela

Opcional.

Se a calculadora não calculou algo ou você identificou um erro, ou tem uma sugestão/comentário, escreva nos comentários abaixo.

Sua entrada

Encontre os valores máximo e mínimo de $$$f{\left(x,y \right)} = 81 x^{2} + y^{2}$$$ sujeitos à restrição $$$4 x^{2} + y^{2} = 9$$$.

Solução

Atenção! Esta calculadora não verifica as condições de aplicação do método dos multiplicadores de Lagrange. Use por sua conta e risco: a resposta pode estar incorreta.

Reescreva a restrição $$$4 x^{2} + y^{2} = 9$$$ como $$$4 x^{2} + y^{2} - 9 = 0$$$.

Forme o Lagrangeano: $$$L{\left(x,y,\lambda \right)} = \left(81 x^{2} + y^{2}\right) + \lambda \left(4 x^{2} + y^{2} - 9\right)$$$.

Encontre todas as derivadas parciais de primeira ordem:

$$$\frac{\partial}{\partial x} \left(\left(81 x^{2} + y^{2}\right) + \lambda \left(4 x^{2} + y^{2} - 9\right)\right) = 2 x \left(4 \lambda + 81\right)$$$ (para as etapas, consulte calculadora de derivadas parciais).

$$$\frac{\partial}{\partial y} \left(\left(81 x^{2} + y^{2}\right) + \lambda \left(4 x^{2} + y^{2} - 9\right)\right) = 2 y \left(\lambda + 1\right)$$$ (para as etapas, consulte calculadora de derivadas parciais).

$$$\frac{\partial}{\partial \lambda} \left(\left(81 x^{2} + y^{2}\right) + \lambda \left(4 x^{2} + y^{2} - 9\right)\right) = 4 x^{2} + y^{2} - 9$$$ (para as etapas, consulte calculadora de derivadas parciais).

Em seguida, resolva o sistema $$$\begin{cases} \frac{\partial L}{\partial x} = 0 \\ \frac{\partial L}{\partial y} = 0 \\ \frac{\partial L}{\partial \lambda} = 0 \end{cases}$$$, ou $$$\begin{cases} 2 x \left(4 \lambda + 81\right) = 0 \\ 2 y \left(\lambda + 1\right) = 0 \\ 4 x^{2} + y^{2} - 9 = 0 \end{cases}.$$$

O sistema tem as seguintes soluções reais: $$$\left(x, y\right) = \left(- \frac{3}{2}, 0\right)$$$, $$$\left(x, y\right) = \left(0, -3\right)$$$, $$$\left(x, y\right) = \left(0, 3\right)$$$, $$$\left(x, y\right) = \left(\frac{3}{2}, 0\right)$$$.

$$$f{\left(- \frac{3}{2},0 \right)} = \frac{729}{4}$$$

$$$f{\left(0,-3 \right)} = 9$$$

$$$f{\left(0,3 \right)} = 9$$$

$$$f{\left(\frac{3}{2},0 \right)} = \frac{729}{4}$$$

Assim, o valor mínimo é $$$9$$$, e o valor máximo é $$$\frac{729}{4}$$$.

Responder

Máximo

$$$\frac{729}{4} = 182.25$$$A em $$$\left(x, y\right) = \left(- \frac{3}{2}, 0\right) = \left(-1.5, 0\right)$$$, $$$\left(x, y\right) = \left(\frac{3}{2}, 0\right) = \left(1.5, 0\right)$$$A.

Mínimo

$$$9$$$A em $$$\left(x, y\right) = \left(0, -3\right)$$$, $$$\left(x, y\right) = \left(0, 3\right)$$$A.