Multiplicadores de Lagrange: encontre os máximos e mínimos de $$$f{\left(x,y \right)} = 81 x^{2} + y^{2}$$$, sujeito a $$$4 x^{2} + y^{2} = 9$$$

Encontre os valores máximo e mínimo de $$$f{\left(x,y \right)} = 81 x^{2} + y^{2}$$$ sujeitos à restrição $$$4 x^{2} + y^{2} = 9$$$.

Atenção! Esta calculadora não verifica as condições para aplicar o método dos multiplicadores de Lagrange. Use-a por sua conta e risco: a resposta pode estar incorreta.

Reescreva a restrição $$$4 x^{2} + y^{2} = 9$$$ como $$$4 x^{2} + y^{2} - 9 = 0$$$.

Forme a Lagrangiana: $$$L{\left(x,y,\lambda \right)} = \left(81 x^{2} + y^{2}\right) + \lambda \left(4 x^{2} + y^{2} - 9\right)$$$.

Encontre todas as derivadas parciais de primeira ordem:

$$$\frac{\partial}{\partial x} \left(\left(81 x^{2} + y^{2}\right) + \lambda \left(4 x^{2} + y^{2} - 9\right)\right) = 2 x \left(4 \lambda + 81\right)$$$ (para ver as etapas, consulte calculadora de derivadas parciais).

$$$\frac{\partial}{\partial y} \left(\left(81 x^{2} + y^{2}\right) + \lambda \left(4 x^{2} + y^{2} - 9\right)\right) = 2 y \left(\lambda + 1\right)$$$ (para ver as etapas, consulte calculadora de derivadas parciais).

$$$\frac{\partial}{\partial \lambda} \left(\left(81 x^{2} + y^{2}\right) + \lambda \left(4 x^{2} + y^{2} - 9\right)\right) = 4 x^{2} + y^{2} - 9$$$ (para ver as etapas, consulte calculadora de derivadas parciais).

Em seguida, resolva o sistema $$$\begin{cases} \frac{\partial L}{\partial x} = 0 \\ \frac{\partial L}{\partial y} = 0 \\ \frac{\partial L}{\partial \lambda} = 0 \end{cases}$$$, ou $$$\begin{cases} 2 x \left(4 \lambda + 81\right) = 0 \\ 2 y \left(\lambda + 1\right) = 0 \\ 4 x^{2} + y^{2} - 9 = 0 \end{cases}.$$$

O sistema possui as seguintes soluções reais: $$$\left(x, y\right) = \left(- \frac{3}{2}, 0\right)$$$, $$$\left(x, y\right) = \left(0, -3\right)$$$, $$$\left(x, y\right) = \left(0, 3\right)$$$, $$$\left(x, y\right) = \left(\frac{3}{2}, 0\right)$$$.

$$$f{\left(- \frac{3}{2},0 \right)} = \frac{729}{4}$$$

$$$f{\left(0,-3 \right)} = 9$$$

$$$f{\left(0,3 \right)} = 9$$$

$$$f{\left(\frac{3}{2},0 \right)} = \frac{729}{4}$$$

Portanto, o valor mínimo é $$$9$$$ e o valor máximo é $$$\frac{729}{4}$$$.

Máximo

$$$\frac{729}{4} = 182.25$$$A em $$$\left(x, y\right) = \left(- \frac{3}{2}, 0\right) = \left(-1.5, 0\right)$$$, $$$\left(x, y\right) = \left(\frac{3}{2}, 0\right) = \left(1.5, 0\right)$$$A.

Mínimo

$$$9$$$A em $$$\left(x, y\right) = \left(0, -3\right)$$$, $$$\left(x, y\right) = \left(0, 3\right)$$$A.