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Multiplicadores de Lagrange: encontre os máximos e mínimos de $$$f{\left(x,y \right)} = 4 x + y$$$, sujeito a $$$20 = \frac{5 \sqrt{x} \sqrt{y}}{4}$$$
Calculadora relacionada: Calculadora de Pontos Críticos, Extremos e Pontos de Sela
Sua entrada
Encontre os valores máximo e mínimo de $$$f{\left(x,y \right)} = 4 x + y$$$ sujeitos à restrição $$$20 = \frac{5 \sqrt{x} \sqrt{y}}{4}$$$.
Solução
Atenção! Esta calculadora não verifica as condições para aplicar o método dos multiplicadores de Lagrange. Use-a por sua conta e risco: a resposta pode estar incorreta.
Reescreva a restrição $$$20 = \frac{5 \sqrt{x} \sqrt{y}}{4}$$$ como $$$- \frac{5 \sqrt{x} \sqrt{y}}{4} + 20 = 0$$$.
Forme a Lagrangiana: $$$L{\left(x,y,\lambda \right)} = \left(4 x + y\right) + \lambda \left(- \frac{5 \sqrt{x} \sqrt{y}}{4} + 20\right)$$$.
Encontre todas as derivadas parciais de primeira ordem:
$$$\frac{\partial}{\partial x} \left(\left(4 x + y\right) + \lambda \left(- \frac{5 \sqrt{x} \sqrt{y}}{4} + 20\right)\right) = - \frac{5 \lambda \sqrt{y}}{8 \sqrt{x}} + 4$$$ (para ver as etapas, consulte calculadora de derivadas parciais).
$$$\frac{\partial}{\partial y} \left(\left(4 x + y\right) + \lambda \left(- \frac{5 \sqrt{x} \sqrt{y}}{4} + 20\right)\right) = - \frac{5 \lambda \sqrt{x}}{8 \sqrt{y}} + 1$$$ (para ver as etapas, consulte calculadora de derivadas parciais).
$$$\frac{\partial}{\partial \lambda} \left(\left(4 x + y\right) + \lambda \left(- \frac{5 \sqrt{x} \sqrt{y}}{4} + 20\right)\right) = - \frac{5 \sqrt{x} \sqrt{y}}{4} + 20$$$ (para ver as etapas, consulte calculadora de derivadas parciais).
Em seguida, resolva o sistema $$$\begin{cases} \frac{\partial L}{\partial x} = 0 \\ \frac{\partial L}{\partial y} = 0 \\ \frac{\partial L}{\partial \lambda} = 0 \end{cases}$$$, ou $$$\begin{cases} - \frac{5 \lambda \sqrt{y}}{8 \sqrt{x}} + 4 = 0 \\ - \frac{5 \lambda \sqrt{x}}{8 \sqrt{y}} + 1 = 0 \\ - \frac{5 \sqrt{x} \sqrt{y}}{4} + 20 = 0 \end{cases}.$$$
O sistema possui a seguinte solução real: $$$\left(x, y\right) = \left(8, 32\right)$$$.
$$$f{\left(8,32 \right)} = 64$$$
Considere o ponto $$$\left(x, y\right) = \left(\frac{801}{100}, \frac{25600}{801}\right)$$$.
Como $$$f{\left(\frac{801}{100},\frac{25600}{801} \right)} = \frac{1281601}{20025}$$$ é maior que $$$64$$$, pode-se afirmar que $$$64$$$ é o mínimo.
Resposta
Máximo
Sem máximo.
Mínimo
$$$64$$$A em $$$\left(x, y\right) = \left(8, 32\right)$$$A.