Pontos críticos, extremos e pontos de sela de $$$f{\left(x,y \right)} = e^{x y}$$$

Encontre e classifique os pontos críticos de $$$f{\left(x,y \right)} = e^{x y}$$$.

O primeiro passo é encontrar todas as derivadas parciais de primeira ordem:

$$$\frac{\partial}{\partial x} \left(e^{x y}\right) = y e^{x y}$$$ (para ver as etapas, consulte calculadora de derivadas parciais).

$$$\frac{\partial}{\partial y} \left(e^{x y}\right) = x e^{x y}$$$ (para ver as etapas, consulte calculadora de derivadas parciais).

Em seguida, resolva o sistema $$$\begin{cases} \frac{\partial f}{\partial x} = 0 \\ \frac{\partial f}{\partial y} = 0 \end{cases}$$$, ou $$$\begin{cases} y e^{x y} = 0 \\ x e^{x y} = 0 \end{cases}$$$.

O sistema possui a seguinte solução real: $$$\left(x, y\right) = \left(0, 0\right)$$$.

Agora, vamos tentar classificá-lo.

Encontre todas as derivadas parciais de segunda ordem:

$$$\frac{\partial^{2}}{\partial x^{2}} \left(e^{x y}\right) = y^{2} e^{x y}$$$ (para ver as etapas, consulte calculadora de derivadas parciais).

$$$\frac{\partial^{2}}{\partial y\partial x} \left(e^{x y}\right) = \left(x y + 1\right) e^{x y}$$$ (para ver as etapas, consulte calculadora de derivadas parciais).

$$$\frac{\partial^{2}}{\partial y^{2}} \left(e^{x y}\right) = x^{2} e^{x y}$$$ (para ver as etapas, consulte calculadora de derivadas parciais).

Defina a expressão $$$D = \frac{\partial ^{2}f}{\partial x^{2}} \frac{\partial ^{2}f}{\partial y^{2}} - \left(\frac{\partial ^{2}f}{\partial y\partial x}\right)^{2} = - \left(2 x y + 1\right) e^{2 x y}.$$$

Como $$$D{\left(0,0 \right)} = -1$$$ é menor que $$$0$$$, pode-se afirmar que $$$\left(0, 0\right)$$$ é um ponto de sela.

Máximos relativos

Sem máximos relativos.

Mínimos relativos

Sem mínimos relativos.

Pontos de Sela

$$$\left(x, y\right) = \left(0, 0\right)$$$A, $$$f{\left(0,0 \right)} = 1$$$A