Converter $$$16 r = \cos{\left(3 \theta \right)}$$$ em coordenadas retangulares

Converta $$$16 r = \cos{\left(3 \theta \right)}$$$ em coordenadas retangulares.

Aplique a fórmula $$$\cos{\left(3 \alpha \right)} = \cos^{3}{\left(\alpha \right)} - 3 \sin^{2}{\left(\alpha \right)} \cos{\left(\alpha \right)}$$$ com $$$\alpha = \theta$$$: $$$16 r = - 3 \sin^{2}{\left(\theta \right)} \cos{\left(\theta \right)} + \cos^{3}{\left(\theta \right)}$$$.

De $$$x = r \cos{\left(\theta \right)}$$$ e $$$y = r \sin{\left(\theta \right)}$$$, temos $$$\cos{\left(\theta \right)} = \frac{x}{r}$$$, $$$\sin{\left(\theta \right)} = \frac{y}{r}$$$, $$$\tan{\left(\theta \right)} = \frac{y}{x}$$$ e $$$\cot{\left(\theta \right)} = \frac{x}{y}$$$.

A entrada torna-se $$$16 r = \frac{x^{3}}{r^{3}} - \frac{3 x y^{2}}{r^{3}}$$$.

Simplifique: a entrada agora assume a forma $$$16 r^{4} - x^{3} + 3 x y^{2} = 0$$$.

Em coordenadas retangulares, $$$r = \sqrt{x^{2} + y^{2}}$$$ e $$$\theta = \operatorname{atan}{\left(\frac{y}{x} \right)}$$$.

Assim, a entrada pode ser reescrita como $$$- x^{3} + 3 x y^{2} + 16 \left(x^{2} + y^{2}\right)^{2} = 0$$$.

$$$16 r = \cos{\left(3 \theta \right)}$$$A em coordenadas retangulares é $$$- x^{3} + 3 x y^{2} + 16 \left(x^{2} + y^{2}\right)^{2} = 0$$$A.