Derivada implícita de $$$x^{2} - x y + 3 y^{2} = 0$$$ em relação a $$$x$$$

Diferencie separadamente ambos os lados da equação (trate $$$y$$$ como uma função de $$$x$$$ ): $$$\frac{d}{dx} \left(x^{2} - x y{\left(x \right)} + 3 y^{2}{\left(x \right)}\right) = \frac{d}{dx} \left(0\right)$$$.

Diferencie o LHS da equação.

A derivada de uma soma/diferença é a soma/diferença das derivadas:

$${\color{red}\left(\frac{d}{dx} \left(x^{2} - x y{\left(x \right)} + 3 y^{2}{\left(x \right)}\right)\right)} = {\color{red}\left(\frac{d}{dx} \left(x^{2}\right) - \frac{d}{dx} \left(x y{\left(x \right)}\right) + \frac{d}{dx} \left(3 y^{2}{\left(x \right)}\right)\right)}$$

Aplique a regra do produto $$$\frac{d}{dx} \left(f{\left(x \right)} g{\left(x \right)}\right) = \frac{d}{dx} \left(f{\left(x \right)}\right) g{\left(x \right)} + f{\left(x \right)} \frac{d}{dx} \left(g{\left(x \right)}\right)$$$ com $$$f{\left(x \right)} = x$$$ e $$$g{\left(x \right)} = y{\left(x \right)}$$$:

$$- {\color{red}\left(\frac{d}{dx} \left(x y{\left(x \right)}\right)\right)} + \frac{d}{dx} \left(x^{2}\right) + \frac{d}{dx} \left(3 y^{2}{\left(x \right)}\right) = - {\color{red}\left(\frac{d}{dx} \left(x\right) y{\left(x \right)} + x \frac{d}{dx} \left(y{\left(x \right)}\right)\right)} + \frac{d}{dx} \left(x^{2}\right) + \frac{d}{dx} \left(3 y^{2}{\left(x \right)}\right)$$

Aplique a regra de potência $$$\frac{d}{dx} \left(x^{n}\right) = n x^{n - 1}$$$ com $$$n = 1$$$, ou seja, $$$\frac{d}{dx} \left(x\right) = 1$$$:

$$- x \frac{d}{dx} \left(y{\left(x \right)}\right) - y{\left(x \right)} {\color{red}\left(\frac{d}{dx} \left(x\right)\right)} + \frac{d}{dx} \left(x^{2}\right) + \frac{d}{dx} \left(3 y^{2}{\left(x \right)}\right) = - x \frac{d}{dx} \left(y{\left(x \right)}\right) - y{\left(x \right)} {\color{red}\left(1\right)} + \frac{d}{dx} \left(x^{2}\right) + \frac{d}{dx} \left(3 y^{2}{\left(x \right)}\right)$$

Aplique a regra de poder $$$\frac{d}{dx} \left(x^{n}\right) = n x^{n - 1}$$$ com $$$n = 2$$$:

$$- x \frac{d}{dx} \left(y{\left(x \right)}\right) - y{\left(x \right)} + {\color{red}\left(\frac{d}{dx} \left(x^{2}\right)\right)} + \frac{d}{dx} \left(3 y^{2}{\left(x \right)}\right) = - x \frac{d}{dx} \left(y{\left(x \right)}\right) - y{\left(x \right)} + {\color{red}\left(2 x\right)} + \frac{d}{dx} \left(3 y^{2}{\left(x \right)}\right)$$

Aplique a regra múltipla constante $$$\frac{d}{dx} \left(c f{\left(x \right)}\right) = c \frac{d}{dx} \left(f{\left(x \right)}\right)$$$ com $$$c = 3$$$ e $$$f{\left(x \right)} = y^{2}{\left(x \right)}$$$:

$$- x \frac{d}{dx} \left(y{\left(x \right)}\right) + 2 x - y{\left(x \right)} + {\color{red}\left(\frac{d}{dx} \left(3 y^{2}{\left(x \right)}\right)\right)} = - x \frac{d}{dx} \left(y{\left(x \right)}\right) + 2 x - y{\left(x \right)} + {\color{red}\left(3 \frac{d}{dx} \left(y^{2}{\left(x \right)}\right)\right)}$$

A função $$$y^{2}{\left(x \right)}$$$ é a composição $$$f{\left(g{\left(x \right)} \right)}$$$ de duas funções $$$f{\left(u \right)} = u^{2}$$$ e $$$g{\left(x \right)} = y{\left(x \right)}$$$.

Aplique a regra da cadeia $$$\frac{d}{dx} \left(f{\left(g{\left(x \right)} \right)}\right) = \frac{d}{du} \left(f{\left(u \right)}\right) \frac{d}{dx} \left(g{\left(x \right)}\right)$$$:

$$- x \frac{d}{dx} \left(y{\left(x \right)}\right) + 2 x - y{\left(x \right)} + 3 {\color{red}\left(\frac{d}{dx} \left(y^{2}{\left(x \right)}\right)\right)} = - x \frac{d}{dx} \left(y{\left(x \right)}\right) + 2 x - y{\left(x \right)} + 3 {\color{red}\left(\frac{d}{du} \left(u^{2}\right) \frac{d}{dx} \left(y{\left(x \right)}\right)\right)}$$

Aplique a regra de poder $$$\frac{d}{du} \left(u^{n}\right) = n u^{n - 1}$$$ com $$$n = 2$$$:

$$- x \frac{d}{dx} \left(y{\left(x \right)}\right) + 2 x - y{\left(x \right)} + 3 {\color{red}\left(\frac{d}{du} \left(u^{2}\right)\right)} \frac{d}{dx} \left(y{\left(x \right)}\right) = - x \frac{d}{dx} \left(y{\left(x \right)}\right) + 2 x - y{\left(x \right)} + 3 {\color{red}\left(2 u\right)} \frac{d}{dx} \left(y{\left(x \right)}\right)$$

Volte para a variável antiga:

$$- x \frac{d}{dx} \left(y{\left(x \right)}\right) + 2 x - y{\left(x \right)} + 6 {\color{red}\left(u\right)} \frac{d}{dx} \left(y{\left(x \right)}\right) = - x \frac{d}{dx} \left(y{\left(x \right)}\right) + 2 x - y{\left(x \right)} + 6 {\color{red}\left(y{\left(x \right)}\right)} \frac{d}{dx} \left(y{\left(x \right)}\right)$$

Assim, $$$\frac{d}{dx} \left(x^{2} - x y{\left(x \right)} + 3 y^{2}{\left(x \right)}\right) = - x \frac{d}{dx} \left(y{\left(x \right)}\right) + 2 x + 6 y{\left(x \right)} \frac{d}{dx} \left(y{\left(x \right)}\right) - y{\left(x \right)}.$$$

Diferencie o RHS da equação.

A derivada de uma constante é $$$0$$$:

$${\color{red}\left(\frac{d}{dx} \left(0\right)\right)} = {\color{red}\left(0\right)}$$

Assim, $$$\frac{d}{dx} \left(0\right) = 0$$$.

Portanto, obtivemos a seguinte equação linear em relação à derivada: $$$- x \frac{dy}{dx} + 2 x + 6 y \frac{dy}{dx} - y = 0$$$.

Resolvendo, obtemos que $$$\frac{dy}{dx} = \frac{2 x - y}{x - 6 y}$$$.