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Calculadora de fatoração

Fatorar expressões passo a passo

A calculadora tentará fatorar qualquer expressão (polinomial, binomial, trinômio, quadrática, racional, irracional, exponencial, trigonométrica ou uma mistura delas), com as etapas mostradas. Para fazer isso, primeiro são aplicadas algumas substituições para converter a expressão em um polinômio e, em seguida, são utilizadas as seguintes técnicas: fatoração de monômios (fator comum), fatoração quadrática, agrupamento e reagrupamento, quadrado da soma/diferença, cubo da soma/diferença , diferença de quadrados, soma/diferença de cubos e o teorema dos zeros racionais.

Enter an expression:

If the calculator did not compute something or you have identified an error, or you have a suggestion/feedback, please write it in the comments below.

Solution

Your input: factor $$$x^{4} - 20 x^{2} + 64$$$.

We can treat $$$x^{4} - 20 x^{2} + 64$$$ as a quadratic function with respect to $$$x^{2}$$$.

Let $$$Y = x^{2}$$$.

Temporarily rewrite $$$x^{4} - 20 x^{2} + 64$$$ in terms of $$$Y$$$: $$$x^{4} - 20 x^{2} + 64$$$ becomes $$$Y^{2} - 20 Y + 64$$$.

To factor the quadratic function $$$Y^{2} - 20 Y + 64$$$, we should solve the corresponding quadratic equation $$$Y^{2} - 20 Y + 64=0$$$.

Indeed, if $$$Y_1$$$ and $$$Y_2$$$ are the roots of the quadratic equation $$$aY^2+bY+c=0$$$, then $$$aY^2+bY+c=a(Y-Y_1)(Y-Y_2)$$$.

Solve the quadratic equation $$$Y^{2} - 20 Y + 64=0$$$.

The roots are $$$Y_{1} = 16$$$, $$$Y_{2} = 4$$$ (use the quadratic equation calculator to see the steps).

Therefore, $$$Y^{2} - 20 Y + 64 = \left(Y - 16\right) \left(Y - 4\right)$$$.

Recall that $$$Y = x^{2}$$$:    $$$x^{4} - 20 x^{2} + 64 = 1 \left(x^{2} - 16\right) \left(x^{2} - 4\right)$$$.

$${\color{red}{\left(x^{4} - 20 x^{2} + 64\right)}} = {\color{red}{1 \left(x^{2} - 16\right) \left(x^{2} - 4\right)}}$$

Apply the difference of squares formula $$$\alpha^{2} - \beta^{2} = \left(\alpha - \beta\right) \left(\alpha + \beta\right)$$$ with $$$\alpha = x$$$ and $$$\beta = 2$$$:

$$\left(x^{2} - 16\right) {\color{red}{\left(x^{2} - 4\right)}} = \left(x^{2} - 16\right) {\color{red}{\left(x - 2\right) \left(x + 2\right)}}$$

Apply the difference of squares formula $$$\alpha^{2} - \beta^{2} = \left(\alpha - \beta\right) \left(\alpha + \beta\right)$$$ with $$$\alpha = x$$$ and $$$\beta = 4$$$:

$$\left(x - 2\right) \left(x + 2\right) {\color{red}{\left(x^{2} - 16\right)}} = \left(x - 2\right) \left(x + 2\right) {\color{red}{\left(x - 4\right) \left(x + 4\right)}}$$

Thus, $$$x^{4} - 20 x^{2} + 64=\left(x - 4\right) \left(x - 2\right) \left(x + 2\right) \left(x + 4\right)$$$.

Answer: $$$x^{4} - 20 x^{2} + 64=\left(x - 4\right) \left(x - 2\right) \left(x + 2\right) \left(x + 4\right)$$$.