SVD van $$$\left[\begin{array}{c}2 \sqrt{2}\\2 \sqrt{2}\end{array}\right]$$$

Bepaal de SVD van $$$\left[\begin{array}{c}2 \sqrt{2}\\2 \sqrt{2}\end{array}\right]$$$.

Bepaal de getransponeerde van de matrix: $$$\left[\begin{array}{c}2 \sqrt{2}\\2 \sqrt{2}\end{array}\right]^{T} = \left[\begin{array}{cc}2 \sqrt{2} & 2 \sqrt{2}\end{array}\right]$$$ (voor de stappen, zie matrix transpose calculator).

Vermenigvuldig de matrix met zijn getransponeerde: $$$W = \left[\begin{array}{c}2 \sqrt{2}\\2 \sqrt{2}\end{array}\right]\cdot \left[\begin{array}{cc}2 \sqrt{2} & 2 \sqrt{2}\end{array}\right] = \left[\begin{array}{cc}8 & 8\\8 & 8\end{array}\right]$$$ (voor de stappen, zie calculator voor matrixvermenigvuldiging).

Bepaal nu de eigenwaarden en eigenvectoren van $$$W$$$ (voor de stappen, zie rekenmachine voor eigenwaarden en eigenvectoren).

Eigenwaarde: $$$16$$$, eigenvector: $$$\left[\begin{array}{c}1\\1\end{array}\right]$$$.

Eigenwaarde: $$$0$$$, eigenvector: $$$\left[\begin{array}{c}-1\\1\end{array}\right]$$$.

Bepaal de vierkantswortels van de niet-nul eigenwaarden ($$$\sigma_{i}$$$):

$$$\sigma_{1} = 4$$$

De matrix $$$\Sigma$$$ is een nulmatrix met $$$\sigma_{i}$$$ op de hoofddiagonaal: $$$\Sigma = \left[\begin{array}{c}4\\0\end{array}\right]$$$.

De kolommen van de matrix $$$U$$$ zijn de genormaliseerde (eenheids)vectoren: $$$U = \left[\begin{array}{cc}\frac{\sqrt{2}}{2} & - \frac{\sqrt{2}}{2}\\\frac{\sqrt{2}}{2} & \frac{\sqrt{2}}{2}\end{array}\right]$$$ (voor de stappen bij het bepalen van een eenheidsvector, zie unit vector calculator).

Nu, $$$v_{i} = \frac{1}{\sigma_{i}}\cdot \left[\begin{array}{c}2 \sqrt{2}\\2 \sqrt{2}\end{array}\right]^{T}\cdot u_{i}$$$:

$$$v_{1} = \frac{1}{\sigma_{1}}\cdot \left[\begin{array}{c}2 \sqrt{2}\\2 \sqrt{2}\end{array}\right]^{T}\cdot u_{1} = \frac{1}{4}\cdot \left[\begin{array}{cc}2 \sqrt{2} & 2 \sqrt{2}\end{array}\right]\cdot \left[\begin{array}{c}\frac{\sqrt{2}}{2}\\\frac{\sqrt{2}}{2}\end{array}\right] = \left[\begin{array}{c}1\end{array}\right]$$$ (voor de stappen, zie rekenmachine voor scalaire vermenigvuldiging van matrices en rekenmachine voor matrixvermenigvuldiging).

Daarom geldt $$$V = \left[\begin{array}{c}1\end{array}\right]$$$.

De matrices $$$U$$$, $$$\Sigma$$$ en $$$V$$$ zijn zodanig dat de oorspronkelijke matrix $$$\left[\begin{array}{c}2 \sqrt{2}\\2 \sqrt{2}\end{array}\right] = U \Sigma V^T$$$.

$$$U = \left[\begin{array}{cc}\frac{\sqrt{2}}{2} & - \frac{\sqrt{2}}{2}\\\frac{\sqrt{2}}{2} & \frac{\sqrt{2}}{2}\end{array}\right]\approx \left[\begin{array}{cc}0.707106781186548 & -0.707106781186548\\0.707106781186548 & 0.707106781186548\end{array}\right]$$$A

$$$\Sigma = \left[\begin{array}{c}4\\0\end{array}\right]$$$A

$$$V = \left[\begin{array}{c}1\end{array}\right]$$$A