$$$e^{\left[\begin{array}{cc}t & - t\\0 & t\end{array}\right]}$$$

Bepaal $$$e^{\left[\begin{array}{cc}t & - t\\0 & t\end{array}\right]}$$$.

Diagonaliseer eerst de matrix (voor de stappen, zie matrix diagonalization calculator).

Omdat de matrix niet diagonaliseerbaar is, schrijf deze als de som van de diagonale matrix $$$D = \left[\begin{array}{cc}t & 0\\0 & t\end{array}\right]$$$ en de nilpotente matrix $$$N = \left[\begin{array}{cc}0 & - t\\0 & 0\end{array}\right]$$$.

Merk op dat $$$N^{2} = \left[\begin{array}{cc}0 & 0\\0 & 0\end{array}\right]$$$.

Dit betekent dat $$$e^{N} = I + N$$$, d.w.z. $$$e^{\left[\begin{array}{cc}0 & - t\\0 & 0\end{array}\right]} = \left[\begin{array}{cc}1 & 0\\0 & 1\end{array}\right] + \left[\begin{array}{cc}0 & - t\\0 & 0\end{array}\right] = \left[\begin{array}{cc}1 & - t\\0 & 1\end{array}\right].$$$

De exponentiële van een diagonale matrix is een matrix waarvan de diagonaalelementen worden geëxponentieerd: $$$e^{\left[\begin{array}{cc}t & 0\\0 & t\end{array}\right]} = \left[\begin{array}{cc}e^{t} & 0\\0 & e^{t}\end{array}\right].$$$

Nu, $$$e^{\left[\begin{array}{cc}t & - t\\0 & t\end{array}\right]} = e^{\left[\begin{array}{cc}t & 0\\0 & t\end{array}\right] + \left[\begin{array}{cc}0 & - t\\0 & 0\end{array}\right]} = e^{\left[\begin{array}{cc}t & 0\\0 & t\end{array}\right]}\cdot e^{\left[\begin{array}{cc}0 & - t\\0 & 0\end{array}\right]} = \left[\begin{array}{cc}e^{t} & 0\\0 & e^{t}\end{array}\right]\cdot \left[\begin{array}{cc}1 & - t\\0 & 1\end{array}\right].$$$

Vermenigvuldig ten slotte de matrices:

$$$\left[\begin{array}{cc}e^{t} & 0\\0 & e^{t}\end{array}\right]\cdot \left[\begin{array}{cc}1 & - t\\0 & 1\end{array}\right] = \left[\begin{array}{cc}e^{t} & - t e^{t}\\0 & e^{t}\end{array}\right]$$$ (voor de stappen, zie rekenmachine voor matrixvermenigvuldiging.)

$$$e^{\left[\begin{array}{cc}t & - t\\0 & t\end{array}\right]} = \left[\begin{array}{cc}e^{t} & - t e^{t}\\0 & e^{t}\end{array}\right]$$$A