Eigenwaarden en eigenvectoren van $$$\left[\begin{array}{cc}2 & 1\\1 & 2\end{array}\right]$$$

Bepaal de eigenwaarden en eigenvectoren van $$$\left[\begin{array}{cc}2 & 1\\1 & 2\end{array}\right]$$$.

Begin met het vormen van een nieuwe matrix door $$$\lambda$$$ af te trekken van de diagonaalelementen van de gegeven matrix: $$$\left[\begin{array}{cc}2 - \lambda & 1\\1 & 2 - \lambda\end{array}\right]$$$.

De determinant van de verkregen matrix is $$$\left(\lambda - 3\right) \left(\lambda - 1\right)$$$ (voor de stappen, zie determinantencalculator).

Los de vergelijking $$$\left(\lambda - 3\right) \left(\lambda - 1\right) = 0$$$ op.

De wortels zijn $$$\lambda_{1} = 3$$$, $$$\lambda_{2} = 1$$$ (voor de stappen, zie vergelijkingsoplosser).

Dit zijn de eigenwaarden.

Bepaal vervolgens de eigenvectoren.

• $$$\lambda = 3$$$

  $$$\left[\begin{array}{cc}2 - \lambda & 1\\1 & 2 - \lambda\end{array}\right] = \left[\begin{array}{cc}-1 & 1\\1 & -1\end{array}\right]$$$

  De nulruimte van deze matrix is $$$\left\{\left[\begin{array}{c}1\\1\end{array}\right]\right\}$$$ (voor de stappen, zie nulruimte-calculator).

  Dit is de eigenvector.

• $$$\lambda = 1$$$

  $$$\left[\begin{array}{cc}2 - \lambda & 1\\1 & 2 - \lambda\end{array}\right] = \left[\begin{array}{cc}1 & 1\\1 & 1\end{array}\right]$$$

  De nulruimte van deze matrix is $$$\left\{\left[\begin{array}{c}-1\\1\end{array}\right]\right\}$$$ (voor de stappen, zie nulruimte-calculator).

  Dit is de eigenvector.

Eigenwaarde: $$$3$$$A, multipliciteit: $$$1$$$A, eigenvectoren: $$$\left[\begin{array}{c}1\\1\end{array}\right]$$$A.

Eigenwaarde: $$$1$$$A, multipliciteit: $$$1$$$A, eigenvectoren: $$$\left[\begin{array}{c}-1\\1\end{array}\right]$$$A.