LU 분해 계산기
행렬의 LU 분해를 단계별로 구하기
계산기는 (가능하다면) 주어진 행렬 $$$A$$$의 LU 분해, 즉 $$$A=LU$$$가 되도록 하는 하삼각행렬 $$$L$$$과 상삼각행렬 $$$U$$$를 계산하며, 계산 과정을 함께 보여 줍니다.
부분 피벗팅(행 치환이 필요한 경우)이 필요한 경우에는 $$$PA=LU$$$를 만족하는 순열 행렬 $$$P$$$도 함께 구합니다.
관련 계산기: QR 분해 계산기
사용자 입력
$$$\left[\begin{array}{ccc}2 & 7 & 1\\3 & -2 & 0\\1 & 5 & 3\end{array}\right]$$$의 LU 분해를 구하시오.
풀이
단위행렬 $$$L = \left[\begin{array}{ccc}1 & 0 & 0\\0 & 1 & 0\\0 & 0 & 1\end{array}\right]$$$에서 시작하십시오.
행 $$$2$$$에서 행 $$$1$$$의 $$$\frac{3}{2}$$$배를 빼십시오: $$$R_{2} = R_{2} - \frac{3 R_{1}}{2}$$$.
$$$\left[\begin{array}{ccc}2 & 7 & 1\\0 & - \frac{25}{2} & - \frac{3}{2}\\1 & 5 & 3\end{array}\right]$$$
행렬 $$$L$$$의 $$$2$$$행 $$$1$$$열에 계수 $$$\frac{3}{2}$$$를 입력하세요:
$$$L = \left[\begin{array}{ccc}1 & 0 & 0\\\frac{3}{2} & 1 & 0\\0 & 0 & 1\end{array}\right]$$$
행 $$$3$$$에서 행 $$$1$$$의 $$$\frac{1}{2}$$$배를 빼십시오: $$$R_{3} = R_{3} - \frac{R_{1}}{2}$$$.
$$$\left[\begin{array}{ccc}2 & 7 & 1\\0 & - \frac{25}{2} & - \frac{3}{2}\\0 & \frac{3}{2} & \frac{5}{2}\end{array}\right]$$$
행렬 $$$L$$$의 $$$3$$$행 $$$1$$$열에 계수 $$$\frac{1}{2}$$$를 입력하세요:
$$$L = \left[\begin{array}{ccc}1 & 0 & 0\\\frac{3}{2} & 1 & 0\\\frac{1}{2} & 0 & 1\end{array}\right]$$$
$$$2$$$행에 $$$\frac{3}{25}$$$를 곱한 것을 $$$3$$$행에 더한다: $$$R_{3} = R_{3} + \frac{3 R_{2}}{25}$$$.
$$$\left[\begin{array}{ccc}2 & 7 & 1\\0 & - \frac{25}{2} & - \frac{3}{2}\\0 & 0 & \frac{58}{25}\end{array}\right]$$$
행렬 $$$L$$$의 $$$3$$$행 $$$2$$$열에 계수 $$$- \frac{3}{25}$$$를 입력하세요:
$$$L = \left[\begin{array}{ccc}1 & 0 & 0\\\frac{3}{2} & 1 & 0\\\frac{1}{2} & - \frac{3}{25} & 1\end{array}\right]$$$
얻어진 행렬은 행렬 $$$U$$$입니다.
정답
$$$L = \left[\begin{array}{ccc}1 & 0 & 0\\\frac{3}{2} & 1 & 0\\\frac{1}{2} & - \frac{3}{25} & 1\end{array}\right] = \left[\begin{array}{ccc}1 & 0 & 0\\1.5 & 1 & 0\\0.5 & -0.12 & 1\end{array}\right]$$$A
$$$U = \left[\begin{array}{ccc}2 & 7 & 1\\0 & - \frac{25}{2} & - \frac{3}{2}\\0 & 0 & \frac{58}{25}\end{array}\right] = \left[\begin{array}{ccc}2 & 7 & 1\\0 & -12.5 & -1.5\\0 & 0 & 2.32\end{array}\right]$$$A