$$$\left[\begin{array}{cc}2 t^{2} & - t^{2}\\- t^{2} & t^{2}\end{array}\right]$$$의 고윳값과 고유벡터

$$$\left[\begin{array}{cc}2 t^{2} & - t^{2}\\- t^{2} & t^{2}\end{array}\right]$$$의 고유값과 고유벡터를 구하시오.

먼저 주어진 행렬 $$$\left[\begin{array}{cc}- \lambda + 2 t^{2} & - t^{2}\\- t^{2} & - \lambda + t^{2}\end{array}\right]$$$의 대각 원소에서 $$$\lambda$$$를 빼서 새로운 행렬을 만드세요.

얻어진 행렬의 행렬식은 $$$\lambda^{2} - 3 \lambda t^{2} + t^{4}$$$입니다(풀이 단계는 행렬식 계산기를 참고하세요).

방정식 $$$\lambda^{2} - 3 \lambda t^{2} + t^{4} = 0$$$을(를) 풀어라.

근은 $$$\lambda_{1} = \frac{t^{2} \left(3 - \sqrt{5}\right)}{2}$$$, $$$\lambda_{2} = \frac{t^{2} \left(\sqrt{5} + 3\right)}{2}$$$입니다(풀이 단계는 equation solver를 참조하세요).

다음은 고유값입니다.

다음으로 고유벡터를 구하시오.

• $$$\lambda = \frac{t^{2} \left(3 - \sqrt{5}\right)}{2}$$$

  $$$\left[\begin{array}{cc}- \lambda + 2 t^{2} & - t^{2}\\- t^{2} & - \lambda + t^{2}\end{array}\right] = \left[\begin{array}{cc}- \frac{t^{2} \left(3 - \sqrt{5}\right)}{2} + 2 t^{2} & - t^{2}\\- t^{2} & - \frac{t^{2} \left(3 - \sqrt{5}\right)}{2} + t^{2}\end{array}\right]$$$

  이 행렬의 영공간은 $$$\left\{\left[\begin{array}{c}\frac{-1 + \sqrt{5}}{2}\\1\end{array}\right]\right\}$$$입니다(단계는 영공간 계산기를 참조하세요).

  이것이 고유벡터입니다.

• $$$\lambda = \frac{t^{2} \left(\sqrt{5} + 3\right)}{2}$$$

  $$$\left[\begin{array}{cc}- \lambda + 2 t^{2} & - t^{2}\\- t^{2} & - \lambda + t^{2}\end{array}\right] = \left[\begin{array}{cc}- \frac{t^{2} \left(\sqrt{5} + 3\right)}{2} + 2 t^{2} & - t^{2}\\- t^{2} & - \frac{t^{2} \left(\sqrt{5} + 3\right)}{2} + t^{2}\end{array}\right]$$$

  이 행렬의 영공간은 $$$\left\{\left[\begin{array}{c}- \frac{1 + \sqrt{5}}{2}\\1\end{array}\right]\right\}$$$입니다(단계는 영공간 계산기를 참조하세요).

  이것이 고유벡터입니다.

고유값: $$$\frac{t^{2} \left(3 - \sqrt{5}\right)}{2}\approx 0.381966011250105 t^{2}$$$A, 중복도: $$$1$$$A, 고유벡터: $$$\left[\begin{array}{c}\frac{-1 + \sqrt{5}}{2}\\1\end{array}\right]\approx \left[\begin{array}{c}0.618033988749895\\1\end{array}\right]$$$A.

고유값: $$$\frac{t^{2} \left(\sqrt{5} + 3\right)}{2}\approx 2.618033988749895 t^{2}$$$A, 중복도: $$$1$$$A, 고유벡터: $$$\left[\begin{array}{c}- \frac{1 + \sqrt{5}}{2}\\1\end{array}\right]\approx \left[\begin{array}{c}-1.618033988749895\\1\end{array}\right]$$$A.