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접평면 계산기
접평면을 단계별로 구하기
계산기는 주어진 점에서 명시적 및 암시적 곡선의 접평면을 단계별로 구하려고 시도합니다.
사용자 입력
점 $$$\left(x, y, z\right) = \left(1, 3, 2\right)$$$에서 함수 $$$x^{2} + y^{2} + z^{2} = 14$$$의 접평면을 구하시오.
풀이
함수는 $$$F{\left(x,y,z \right)} = 0$$$의 형태로 표현할 수 있으며, 여기서 $$$F{\left(x,y,z \right)} = x^{2} + y^{2} + z^{2} - 14$$$입니다.
편도함수를 구하시오.
$$$\frac{\partial}{\partial x} \left(F{\left(x,y,z \right)}\right) = \frac{\partial}{\partial x} \left(x^{2} + y^{2} + z^{2} - 14\right) = 2 x$$$ (풀이 단계는 부분 도함수 계산기를 참조하세요.)
$$$\frac{\partial}{\partial y} \left(F{\left(x,y,z \right)}\right) = \frac{\partial}{\partial y} \left(x^{2} + y^{2} + z^{2} - 14\right) = 2 y$$$ (풀이 단계는 부분 도함수 계산기를 참조하세요.)
$$$\frac{\partial}{\partial z} \left(F{\left(x,y,z \right)}\right) = \frac{\partial}{\partial z} \left(x^{2} + y^{2} + z^{2} - 14\right) = 2 z$$$ (풀이 단계는 부분 도함수 계산기를 참조하세요.)
주어진 점에서 도함수의 값을 구하시오.
$$$\frac{\partial}{\partial x} \left(x^{2} + y^{2} + z^{2} - 14\right)|_{\left(\left(x, y, z\right) = \left(1, 3, 2\right)\right)} = \left(2 x\right)|_{\left(\left(x, y, z\right) = \left(1, 3, 2\right)\right)} = 2$$$
$$$\frac{\partial}{\partial y} \left(x^{2} + y^{2} + z^{2} - 14\right)|_{\left(\left(x, y, z\right) = \left(1, 3, 2\right)\right)} = \left(2 y\right)|_{\left(\left(x, y, z\right) = \left(1, 3, 2\right)\right)} = 6$$$
$$$\frac{\partial}{\partial z} \left(x^{2} + y^{2} + z^{2} - 14\right)|_{\left(\left(x, y, z\right) = \left(1, 3, 2\right)\right)} = \left(2 z\right)|_{\left(\left(x, y, z\right) = \left(1, 3, 2\right)\right)} = 4$$$
접평면의 방정식은 $$$\frac{\partial}{\partial x} \left(F{\left(x,y,z \right)}\right)|_{\left(\left(x, y, z\right) = \left(x_{0}, y_{0}, z_{0}\right)\right)} \left(x - x_{0}\right) + \frac{\partial}{\partial y} \left(F{\left(x,y,z \right)}\right)|_{\left(\left(x, y, z\right) = \left(x_{0}, y_{0}, z_{0}\right)\right)} \left(y - y_{0}\right) + \frac{\partial}{\partial z} \left(F{\left(x,y,z \right)}\right)|_{\left(\left(x, y, z\right) = \left(x_{0}, y_{0}, z_{0}\right)\right)} \left(z - z_{0}\right) = 0$$$입니다.
이 경우 $$$2 \left(x - 1\right) + 6 \left(y - 3\right) + 4 \left(z - 2\right) = 0$$$.
이는 $$$2 x + 6 y + 4 z = 28$$$로 다시 쓸 수 있습니다.
또는, 더 간단히: $$$z = - \frac{x}{2} - \frac{3 y}{2} + 7$$$.
정답
접평면의 방정식은 $$$z = - \frac{x}{2} - \frac{3 y}{2} + 7 = - 0.5 x - 1.5 y + 7$$$A입니다.