$$$\left\{x = 3 e^{- 4 r} \sin{\left(3 \theta \right)}, y = e^{4 r} \cos{\left(3 \theta \right)}\right\}$$$의 야코비 행렬과 그 행렬식
사용자 입력
$$$\left\{x = 3 e^{- 4 r} \sin{\left(3 \theta \right)}, y = e^{4 r} \cos{\left(3 \theta \right)}\right\}$$$의 야코비 행렬을 계산하세요.
풀이
야코비 행렬은 다음과 같이 정의됩니다: $$$J{\left(x,y \right)}\left(r, \theta\right) = \left[\begin{array}{cc}\frac{\partial x}{\partial r} & \frac{\partial x}{\partial \theta}\\\frac{\partial y}{\partial r} & \frac{\partial y}{\partial \theta}\end{array}\right].$$$
이 경우 $$$J{\left(x,y \right)}\left(r, \theta\right) = \left[\begin{array}{cc}\frac{\partial}{\partial r} \left(3 e^{- 4 r} \sin{\left(3 \theta \right)}\right) & \frac{\partial}{\partial \theta} \left(3 e^{- 4 r} \sin{\left(3 \theta \right)}\right)\\\frac{\partial}{\partial r} \left(e^{4 r} \cos{\left(3 \theta \right)}\right) & \frac{\partial}{\partial \theta} \left(e^{4 r} \cos{\left(3 \theta \right)}\right)\end{array}\right].$$$
도함수를 구하세요(풀이 단계는 도함수 계산기를 참조하세요): $$$J{\left(x,y \right)}\left(r, \theta\right) = \left[\begin{array}{cc}- 12 e^{- 4 r} \sin{\left(3 \theta \right)} & 9 e^{- 4 r} \cos{\left(3 \theta \right)}\\4 e^{4 r} \cos{\left(3 \theta \right)} & - 3 e^{4 r} \sin{\left(3 \theta \right)}\end{array}\right]$$$
야코비안 행렬식은 야코비안 행렬의 행렬식이다: $$$\left|\begin{array}{cc}- 12 e^{- 4 r} \sin{\left(3 \theta \right)} & 9 e^{- 4 r} \cos{\left(3 \theta \right)}\\4 e^{4 r} \cos{\left(3 \theta \right)} & - 3 e^{4 r} \sin{\left(3 \theta \right)}\end{array}\right| = - 36 \cos{\left(6 \theta \right)}$$$ (단계는 determinant calculator 참조).
정답
야코비 행렬은 $$$\left[\begin{array}{cc}- 12 e^{- 4 r} \sin{\left(3 \theta \right)} & 9 e^{- 4 r} \cos{\left(3 \theta \right)}\\4 e^{4 r} \cos{\left(3 \theta \right)} & - 3 e^{4 r} \sin{\left(3 \theta \right)}\end{array}\right]$$$A입니다.
야코비 행렬식은 $$$- 36 \cos{\left(6 \theta \right)}$$$A입니다.