$$$\left\{x = 2 u \cos{\left(5 v \right)}, y = 2 \sin{\left(5 v \right)}\right\}$$$의 야코비 행렬과 그 행렬식
사용자 입력
$$$\left\{x = 2 u \cos{\left(5 v \right)}, y = 2 \sin{\left(5 v \right)}\right\}$$$의 야코비 행렬을 계산하세요.
풀이
야코비 행렬은 다음과 같이 정의됩니다: $$$J{\left(x,y \right)}\left(u, v\right) = \left[\begin{array}{cc}\frac{\partial x}{\partial u} & \frac{\partial x}{\partial v}\\\frac{\partial y}{\partial u} & \frac{\partial y}{\partial v}\end{array}\right].$$$
이 경우 $$$J{\left(x,y \right)}\left(u, v\right) = \left[\begin{array}{cc}\frac{\partial}{\partial u} \left(2 u \cos{\left(5 v \right)}\right) & \frac{\partial}{\partial v} \left(2 u \cos{\left(5 v \right)}\right)\\\frac{\partial}{\partial u} \left(2 \sin{\left(5 v \right)}\right) & \frac{\partial}{\partial v} \left(2 \sin{\left(5 v \right)}\right)\end{array}\right].$$$
도함수를 구하세요(풀이 단계는 도함수 계산기를 참조하세요): $$$J{\left(x,y \right)}\left(u, v\right) = \left[\begin{array}{cc}2 \cos{\left(5 v \right)} & - 10 u \sin{\left(5 v \right)}\\0 & 10 \cos{\left(5 v \right)}\end{array}\right]$$$
야코비안 행렬식은 야코비안 행렬의 행렬식이다: $$$\left|\begin{array}{cc}2 \cos{\left(5 v \right)} & - 10 u \sin{\left(5 v \right)}\\0 & 10 \cos{\left(5 v \right)}\end{array}\right| = 20 \cos^{2}{\left(5 v \right)}$$$ (단계는 determinant calculator 참조).
정답
야코비 행렬은 $$$\left[\begin{array}{cc}2 \cos{\left(5 v \right)} & - 10 u \sin{\left(5 v \right)}\\0 & 10 \cos{\left(5 v \right)}\end{array}\right]$$$A입니다.
야코비 행렬식은 $$$20 \cos^{2}{\left(5 v \right)}$$$A입니다.