야코비 행렬 계산기
야코비 행렬을 단계별로 계산
계산기는 함수들의 집합에 대한 야코비 행렬과 (가능한 경우) 야코비 행렬식을 단계별 풀이와 함께 구합니다.
사용자 입력
$$$\left\{x = r \cos{\left(\tanh{\left(\eta \right)} \right)}, y = r \sin{\left(\tanh{\left(\eta \right)} \right)}\right\}$$$의 야코비 행렬을 계산하세요.
풀이
야코비 행렬은 다음과 같이 정의됩니다: $$$J{\left(x,y \right)}\left(\eta, r\right) = \left[\begin{array}{cc}\frac{\partial x}{\partial \eta} & \frac{\partial x}{\partial r}\\\frac{\partial y}{\partial \eta} & \frac{\partial y}{\partial r}\end{array}\right].$$$
이 경우 $$$J{\left(x,y \right)}\left(\eta, r\right) = \left[\begin{array}{cc}\frac{\partial}{\partial \eta} \left(r \cos{\left(\tanh{\left(\eta \right)} \right)}\right) & \frac{\partial}{\partial r} \left(r \cos{\left(\tanh{\left(\eta \right)} \right)}\right)\\\frac{\partial}{\partial \eta} \left(r \sin{\left(\tanh{\left(\eta \right)} \right)}\right) & \frac{\partial}{\partial r} \left(r \sin{\left(\tanh{\left(\eta \right)} \right)}\right)\end{array}\right].$$$
도함수를 구하세요(풀이 단계는 도함수 계산기를 참조하세요): $$$J{\left(x,y \right)}\left(\eta, r\right) = \left[\begin{array}{cc}- r \sin{\left(\tanh{\left(\eta \right)} \right)} \operatorname{sech}^{2}{\left(\eta \right)} & \cos{\left(\tanh{\left(\eta \right)} \right)}\\r \cos{\left(\tanh{\left(\eta \right)} \right)} \operatorname{sech}^{2}{\left(\eta \right)} & \sin{\left(\tanh{\left(\eta \right)} \right)}\end{array}\right]$$$
야코비안 행렬식은 야코비안 행렬의 행렬식이다: $$$\left|\begin{array}{cc}- r \sin{\left(\tanh{\left(\eta \right)} \right)} \operatorname{sech}^{2}{\left(\eta \right)} & \cos{\left(\tanh{\left(\eta \right)} \right)}\\r \cos{\left(\tanh{\left(\eta \right)} \right)} \operatorname{sech}^{2}{\left(\eta \right)} & \sin{\left(\tanh{\left(\eta \right)} \right)}\end{array}\right| = - r \operatorname{sech}^{2}{\left(\eta \right)}$$$ (단계는 determinant calculator 참조).
정답
야코비 행렬은 $$$\left[\begin{array}{cc}- r \sin{\left(\tanh{\left(\eta \right)} \right)} \operatorname{sech}^{2}{\left(\eta \right)} & \cos{\left(\tanh{\left(\eta \right)} \right)}\\r \cos{\left(\tanh{\left(\eta \right)} \right)} \operatorname{sech}^{2}{\left(\eta \right)} & \sin{\left(\tanh{\left(\eta \right)} \right)}\end{array}\right]$$$A입니다.
야코비 행렬식은 $$$- r \operatorname{sech}^{2}{\left(\eta \right)}$$$A입니다.