$$$\left\langle e^{x} \cos{\left(y \right)}, x y^{2}, y z^{3}\right\rangle$$$의 회전

$$$\operatorname{curl} \left\langle e^{x} \cos{\left(y \right)}, x y^{2}, y z^{3}\right\rangle$$$을(를) 계산하세요.

정의에 따르면 $$$\operatorname{curl} \left\langle e^{x} \cos{\left(y \right)}, x y^{2}, y z^{3}\right\rangle = \nabla\times \left\langle e^{x} \cos{\left(y \right)}, x y^{2}, y z^{3}\right\rangle$$$, 또는 동치로 $$$\operatorname{curl} \left\langle e^{x} \cos{\left(y \right)}, x y^{2}, y z^{3}\right\rangle = \left|\begin{array}{ccc}\mathbf{\vec{i}} & \mathbf{\vec{j}} & \mathbf{\vec{k}}\\\frac{\partial}{\partial x} & \frac{\partial}{\partial y} & \frac{\partial}{\partial z}\\e^{x} \cos{\left(y \right)} & x y^{2} & y z^{3}\end{array}\right|$$$이다. 여기서 $$$\times$$$는 외적 연산자이다.

따라서, $$$\operatorname{curl} \left\langle e^{x} \cos{\left(y \right)}, x y^{2}, y z^{3}\right\rangle = \left\langle \frac{\partial}{\partial y} \left(y z^{3}\right) - \frac{\partial}{\partial z} \left(x y^{2}\right), \frac{\partial}{\partial z} \left(e^{x} \cos{\left(y \right)}\right) - \frac{\partial}{\partial x} \left(y z^{3}\right), \frac{\partial}{\partial x} \left(x y^{2}\right) - \frac{\partial}{\partial y} \left(e^{x} \cos{\left(y \right)}\right)\right\rangle.$$$

편도함수를 구하시오:

$$$\frac{\partial}{\partial y} \left(y z^{3}\right) = z^{3}$$$ (단계별 풀이를 보려면 미분 계산기를 참조하세요).

$$$\frac{\partial}{\partial z} \left(x y^{2}\right) = 0$$$ (단계별 풀이를 보려면 미분 계산기를 참조하세요).

$$$\frac{\partial}{\partial z} \left(e^{x} \cos{\left(y \right)}\right) = 0$$$ (단계별 풀이를 보려면 미분 계산기를 참조하세요).

$$$\frac{\partial}{\partial x} \left(y z^{3}\right) = 0$$$ (단계별 풀이를 보려면 미분 계산기를 참조하세요).

$$$\frac{\partial}{\partial x} \left(x y^{2}\right) = y^{2}$$$ (단계별 풀이를 보려면 미분 계산기를 참조하세요).

$$$\frac{\partial}{\partial y} \left(e^{x} \cos{\left(y \right)}\right) = - e^{x} \sin{\left(y \right)}$$$ (단계별 풀이를 보려면 미분 계산기를 참조하세요).

이제, 구한 편도함수들을 대입하여 회전을 구하면 됩니다: $$$\operatorname{curl} \left\langle e^{x} \cos{\left(y \right)}, x y^{2}, y z^{3}\right\rangle = \left\langle z^{3}, 0, y^{2} + e^{x} \sin{\left(y \right)}\right\rangle$$$

$$$\operatorname{curl} \left\langle e^{x} \cos{\left(y \right)}, x y^{2}, y z^{3}\right\rangle = \left\langle z^{3}, 0, y^{2} + e^{x} \sin{\left(y \right)}\right\rangle$$$A