복소수의 n제곱근 계산기
복소수의 거듭제곱근, 단위근을 단계별로 구하기
계산기는 드무아브르의 공식을 사용하여 주어진 복소수의 모든 $$$n$$$제곱근을 단계별 풀이와 함께 구합니다.
사용자 입력
$$$\sqrt[4]{81 i}$$$을(를) 구하시오.
풀이
$$$81 i$$$의 극형식은 $$$81 \left(\cos{\left(\frac{\pi}{2} \right)} + i \sin{\left(\frac{\pi}{2} \right)}\right)$$$입니다(풀이 단계는 극형식 계산기를 참조하세요).
드무아브르의 공식에 따르면, 복소수 $$$r \left(\cos{\left(\theta \right)} + i \sin{\left(\theta \right)}\right)$$$의 모든 $$$n$$$제곱근은 $$$r^{\frac{1}{n}} \left(\cos{\left(\frac{\theta + 2 \pi k}{n} \right)} + i \sin{\left(\frac{\theta + 2 \pi k}{n} \right)}\right)$$$, $$$k=\overline{0..n-1}$$$로 주어진다.
다음이 성립한다: $$$r = 81$$$, $$$\theta = \frac{\pi}{2}$$$, 및 $$$n = 4$$$.
- $$$k = 0$$$: $$$\sqrt[4]{81} \left(\cos{\left(\frac{\frac{\pi}{2} + 2\cdot \pi\cdot 0}{4} \right)} + i \sin{\left(\frac{\frac{\pi}{2} + 2\cdot \pi\cdot 0}{4} \right)}\right) = 3 \left(\cos{\left(\frac{\pi}{8} \right)} + i \sin{\left(\frac{\pi}{8} \right)}\right) = 3 \sqrt{\frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{1}{2}} + 3 i \sqrt{\frac{1}{2} - \frac{\sqrt{2}}{4}}$$$
- $$$k = 1$$$: $$$\sqrt[4]{81} \left(\cos{\left(\frac{\frac{\pi}{2} + 2\cdot \pi\cdot 1}{4} \right)} + i \sin{\left(\frac{\frac{\pi}{2} + 2\cdot \pi\cdot 1}{4} \right)}\right) = 3 \left(\cos{\left(\frac{5 \pi}{8} \right)} + i \sin{\left(\frac{5 \pi}{8} \right)}\right) = - 3 \sqrt{\frac{1}{2} - \frac{\sqrt{2}}{4}} + 3 i \sqrt{\frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{1}{2}}$$$
- $$$k = 2$$$: $$$\sqrt[4]{81} \left(\cos{\left(\frac{\frac{\pi}{2} + 2\cdot \pi\cdot 2}{4} \right)} + i \sin{\left(\frac{\frac{\pi}{2} + 2\cdot \pi\cdot 2}{4} \right)}\right) = 3 \left(\cos{\left(\frac{9 \pi}{8} \right)} + i \sin{\left(\frac{9 \pi}{8} \right)}\right) = - 3 \sqrt{\frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{1}{2}} - 3 i \sqrt{\frac{1}{2} - \frac{\sqrt{2}}{4}}$$$
- $$$k = 3$$$: $$$\sqrt[4]{81} \left(\cos{\left(\frac{\frac{\pi}{2} + 2\cdot \pi\cdot 3}{4} \right)} + i \sin{\left(\frac{\frac{\pi}{2} + 2\cdot \pi\cdot 3}{4} \right)}\right) = 3 \left(\cos{\left(\frac{13 \pi}{8} \right)} + i \sin{\left(\frac{13 \pi}{8} \right)}\right) = 3 \sqrt{\frac{1}{2} - \frac{\sqrt{2}}{4}} - 3 i \sqrt{\frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{1}{2}}$$$
정답
$$$\sqrt[4]{81 i} = 3 \sqrt{\frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{1}{2}} + 3 i \sqrt{\frac{1}{2} - \frac{\sqrt{2}}{4}}\approx 2.77163859753386 + 1.148050297095269 i$$$A
$$$\sqrt[4]{81 i} = - 3 \sqrt{\frac{1}{2} - \frac{\sqrt{2}}{4}} + 3 i \sqrt{\frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{1}{2}}\approx -1.148050297095269 + 2.77163859753386 i$$$A
$$$\sqrt[4]{81 i} = - 3 \sqrt{\frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{1}{2}} - 3 i \sqrt{\frac{1}{2} - \frac{\sqrt{2}}{4}}\approx -2.77163859753386 - 1.148050297095269 i$$$A
$$$\sqrt[4]{81 i} = 3 \sqrt{\frac{1}{2} - \frac{\sqrt{2}}{4}} - 3 i \sqrt{\frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{1}{2}}\approx 1.148050297095269 - 2.77163859753386 i$$$A