$$$x^{6} - 1$$$(을) $$$x^{2} + 1$$$(으)로 나누세요
사용자 입력
긴 나눗셈을 사용하여 $$$\frac{x^{6} - 1}{x^{2} + 1}$$$을(를) 구하세요.
풀이
문제를 특수 형식으로 작성하세요(누락된 항은 계수를 0으로 표기합니다):
$$$\begin{array}{r|r}\hline\\x^{2}+1&x^{6}+0 x^{5}+0 x^{4}+0 x^{3}+0 x^{2}+0 x-1\end{array}$$$
1단계
피제수의 최고차항을 제수의 최고차항으로 나누십시오: $$$\frac{x^{6}}{x^{2}} = x^{4}$$$
표 상단에 계산된 결과를 기입하십시오.
제수로 그것을 곱하십시오: $$$x^{4} \left(x^{2}+1\right) = x^{6}+x^{4}$$$.
구한 결과에서 피제수를 빼십시오: $$$\left(x^{6}-1\right) - \left(x^{6}+x^{4}\right) = - x^{4}-1$$$.
$$\begin{array}{r|rrrrrrr:c}&{\color{DarkCyan}x^{4}}&&&&&&&\\\hline\\{\color{Magenta}x^{2}}+1&{\color{DarkCyan}x^{6}}&+0 x^{5}&+0 x^{4}&+0 x^{3}&+0 x^{2}&+0 x&-1&\frac{{\color{DarkCyan}x^{6}}}{{\color{Magenta}x^{2}}} = {\color{DarkCyan}x^{4}}\\&-\phantom{x^{6}}&&&&&&&\\&x^{6}&+0 x^{5}&+x^{4}&&&&&{\color{DarkCyan}x^{4}} \left(x^{2}+1\right) = x^{6}+x^{4}\\\hline\\&&&- x^{4}&+0 x^{3}&+0 x^{2}&+0 x&-1&\end{array}$$2단계
얻어진 나머지의 최고차항을 제수의 최고차항으로 나눕니다: $$$\frac{- x^{4}}{x^{2}} = - x^{2}$$$
표 상단에 계산된 결과를 기입하십시오.
제수로 그것을 곱하십시오: $$$- x^{2} \left(x^{2}+1\right) = - x^{4}- x^{2}$$$.
구한 결과에서 나머지를 빼십시오: $$$\left(- x^{4}-1\right) - \left(- x^{4}- x^{2}\right) = x^{2}-1$$$.
$$\begin{array}{r|rrrrrrr:c}&x^{4}&{\color{SaddleBrown}- x^{2}}&&&&&&\\\hline\\{\color{Magenta}x^{2}}+1&x^{6}&+0 x^{5}&+0 x^{4}&+0 x^{3}&+0 x^{2}&+0 x&-1&\\&-\phantom{x^{6}}&&&&&&&\\&x^{6}&+0 x^{5}&+x^{4}&&&&&\\\hline\\&&&{\color{SaddleBrown}- x^{4}}&+0 x^{3}&+0 x^{2}&+0 x&-1&\frac{{\color{SaddleBrown}- x^{4}}}{{\color{Magenta}x^{2}}} = {\color{SaddleBrown}- x^{2}}\\&&&-\phantom{- x^{4}}&&&&&\\&&&- x^{4}&+0 x^{3}&- x^{2}&&&{\color{SaddleBrown}- x^{2}} \left(x^{2}+1\right) = - x^{4}- x^{2}\\\hline\\&&&&&x^{2}&+0 x&-1&\end{array}$$3단계
얻어진 나머지의 최고차항을 제수의 최고차항으로 나눕니다: $$$\frac{x^{2}}{x^{2}} = 1$$$
표 상단에 계산된 결과를 기입하십시오.
제수로 그것을 곱하십시오: $$$1 \left(x^{2}+1\right) = x^{2}+1$$$.
구한 결과에서 나머지를 빼십시오: $$$\left(x^{2}-1\right) - \left(x^{2}+1\right) = -2$$$.
$$\begin{array}{r|rrrrrrr:c}&x^{4}&- x^{2}&{\color{BlueViolet}+1}&&&&&\\\hline\\{\color{Magenta}x^{2}}+1&x^{6}&+0 x^{5}&+0 x^{4}&+0 x^{3}&+0 x^{2}&+0 x&-1&\\&-\phantom{x^{6}}&&&&&&&\\&x^{6}&+0 x^{5}&+x^{4}&&&&&\\\hline\\&&&- x^{4}&+0 x^{3}&+0 x^{2}&+0 x&-1&\\&&&-\phantom{- x^{4}}&&&&&\\&&&- x^{4}&+0 x^{3}&- x^{2}&&&\\\hline\\&&&&&{\color{BlueViolet}x^{2}}&+0 x&-1&\frac{{\color{BlueViolet}x^{2}}}{{\color{Magenta}x^{2}}} = {\color{BlueViolet}1}\\&&&&&-\phantom{x^{2}}&&&\\&&&&&x^{2}&+0 x&+1&{\color{BlueViolet}1} \left(x^{2}+1\right) = x^{2}+1\\\hline\\&&&&&&&-2&\end{array}$$나머지의 차수가 제수의 차수보다 작으므로, 여기서 끝입니다.
결과 표가 다시 한 번 표시됩니다:
$$\begin{array}{r|rrrrrrr:c}&{\color{DarkCyan}x^{4}}&{\color{SaddleBrown}- x^{2}}&{\color{BlueViolet}+1}&&&&&\text{힌트}\\\hline\\{\color{Magenta}x^{2}}+1&{\color{DarkCyan}x^{6}}&+0 x^{5}&+0 x^{4}&+0 x^{3}&+0 x^{2}&+0 x&-1&\frac{{\color{DarkCyan}x^{6}}}{{\color{Magenta}x^{2}}} = {\color{DarkCyan}x^{4}}\\&-\phantom{x^{6}}&&&&&&&\\&x^{6}&+0 x^{5}&+x^{4}&&&&&{\color{DarkCyan}x^{4}} \left(x^{2}+1\right) = x^{6}+x^{4}\\\hline\\&&&{\color{SaddleBrown}- x^{4}}&+0 x^{3}&+0 x^{2}&+0 x&-1&\frac{{\color{SaddleBrown}- x^{4}}}{{\color{Magenta}x^{2}}} = {\color{SaddleBrown}- x^{2}}\\&&&-\phantom{- x^{4}}&&&&&\\&&&- x^{4}&+0 x^{3}&- x^{2}&&&{\color{SaddleBrown}- x^{2}} \left(x^{2}+1\right) = - x^{4}- x^{2}\\\hline\\&&&&&{\color{BlueViolet}x^{2}}&+0 x&-1&\frac{{\color{BlueViolet}x^{2}}}{{\color{Magenta}x^{2}}} = {\color{BlueViolet}1}\\&&&&&-\phantom{x^{2}}&&&\\&&&&&x^{2}&+0 x&+1&{\color{BlueViolet}1} \left(x^{2}+1\right) = x^{2}+1\\\hline\\&&&&&&&-2&\end{array}$$따라서 $$$\frac{x^{6} - 1}{x^{2} + 1} = \left(x^{4} - x^{2} + 1\right) + \frac{-2}{x^{2} + 1}$$$.
정답
$$$\frac{x^{6} - 1}{x^{2} + 1} = \left(x^{4} - x^{2} + 1\right) + \frac{-2}{x^{2} + 1}$$$A