$$$\left[\begin{array}{cc}t & - t\\0 & t\end{array}\right]$$$ の特異値分解

$$$\left[\begin{array}{cc}t & - t\\0 & t\end{array}\right]$$$ の特異値分解を求めよ。

行列の転置を求めよ: $$$\left[\begin{array}{cc}t & - t\\0 & t\end{array}\right]^{T} = \left[\begin{array}{cc}t & 0\\- t & t\end{array}\right]$$$（手順は転置行列計算機を参照）。

行列とその転置の積を求める: $$$W = \left[\begin{array}{cc}t & - t\\0 & t\end{array}\right]\cdot \left[\begin{array}{cc}t & 0\\- t & t\end{array}\right] = \left[\begin{array}{cc}2 t^{2} & - t^{2}\\- t^{2} & t^{2}\end{array}\right]$$$（手順は 行列積計算機 を参照）。

次に、$$$W$$$ の固有値と固有ベクトルを求めなさい（手順は eigenvalues and eigenvectors calculator を参照）。

固有値：$$$\frac{t^{2} \left(3 - \sqrt{5}\right)}{2}$$$、固有ベクトル：$$$\left[\begin{array}{c}\frac{-1 + \sqrt{5}}{2}\\1\end{array}\right]$$$。

固有値：$$$\frac{t^{2} \left(\sqrt{5} + 3\right)}{2}$$$、固有ベクトル：$$$\left[\begin{array}{c}- \frac{1 + \sqrt{5}}{2}\\1\end{array}\right]$$$。

ゼロでない固有値 ($$$\sigma_{i}$$$) の平方根を求めよ:

$$$\sigma_{1} = \frac{\sqrt{2} \sqrt{3 - \sqrt{5}} \left|{t}\right|}{2}$$$

$$$\sigma_{2} = \frac{\sqrt{2} \sqrt{\sqrt{5} + 3} \left|{t}\right|}{2}$$$

$$$\Sigma$$$ 行列は、対角成分が $$$\sigma_{i}$$$、それ以外が 0 の行列である: $$$\Sigma = \left[\begin{array}{cc}\frac{\sqrt{2} \sqrt{3 - \sqrt{5}} \left|{t}\right|}{2} & 0\\0 & \frac{\sqrt{2} \sqrt{\sqrt{5} + 3} \left|{t}\right|}{2}\end{array}\right]$$$

行列 $$$U$$$ の列ベクトルは正規化された（単位）ベクトルである: $$$U = \left[\begin{array}{cc}\frac{- \sqrt{2} + \sqrt{10}}{2 \sqrt{5 - \sqrt{5}}} & - \frac{\sqrt{2} + \sqrt{10}}{2 \sqrt{\sqrt{5} + 5}}\\\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{5 - \sqrt{5}}} & \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{\sqrt{5} + 5}}\end{array}\right]$$$（単位ベクトルを求める手順は 単位ベクトル計算機 を参照）。

ここで、$$$v_{i} = \frac{1}{\sigma_{i}}\cdot \left[\begin{array}{cc}t & - t\\0 & t\end{array}\right]^{T}\cdot u_{i}$$$:

$$$v_{1} = \frac{1}{\sigma_{1}}\cdot \left[\begin{array}{cc}t & - t\\0 & t\end{array}\right]^{T}\cdot u_{1} = \frac{1}{\frac{\sqrt{2} \sqrt{3 - \sqrt{5}} \left|{t}\right|}{2}}\cdot \left[\begin{array}{cc}t & 0\\- t & t\end{array}\right]\cdot \left[\begin{array}{c}\frac{- \sqrt{2} + \sqrt{10}}{2 \sqrt{5 - \sqrt{5}}}\\\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{5 - \sqrt{5}}}\end{array}\right] = \left[\begin{array}{c}\frac{t \left(-1 + \sqrt{5}\right)}{2 \sqrt{5 - 2 \sqrt{5}} \left|{t}\right|}\\\frac{t \left(3 - \sqrt{5}\right)}{2 \sqrt{5 - 2 \sqrt{5}} \left|{t}\right|}\end{array}\right]$$$（手順は 行列のスカラー倍計算機 および 行列積計算機 を参照してください）。

$$$v_{2} = \frac{1}{\sigma_{2}}\cdot \left[\begin{array}{cc}t & - t\\0 & t\end{array}\right]^{T}\cdot u_{2} = \frac{1}{\frac{\sqrt{2} \sqrt{\sqrt{5} + 3} \left|{t}\right|}{2}}\cdot \left[\begin{array}{cc}t & 0\\- t & t\end{array}\right]\cdot \left[\begin{array}{c}- \frac{\sqrt{2} + \sqrt{10}}{2 \sqrt{\sqrt{5} + 5}}\\\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{\sqrt{5} + 5}}\end{array}\right] = \left[\begin{array}{c}- \frac{t \left(1 + \sqrt{5}\right)}{2 \sqrt{2 \sqrt{5} + 5} \left|{t}\right|}\\\frac{t \left(\sqrt{5} + 3\right)}{2 \sqrt{2 \sqrt{5} + 5} \left|{t}\right|}\end{array}\right]$$$（手順は 行列のスカラー倍計算機 および 行列積計算機 を参照してください）。

したがって、$$$V = \left[\begin{array}{cc}\frac{t \left(-1 + \sqrt{5}\right)}{2 \sqrt{5 - 2 \sqrt{5}} \left|{t}\right|} & - \frac{t \left(1 + \sqrt{5}\right)}{2 \sqrt{2 \sqrt{5} + 5} \left|{t}\right|}\\\frac{t \left(3 - \sqrt{5}\right)}{2 \sqrt{5 - 2 \sqrt{5}} \left|{t}\right|} & \frac{t \left(\sqrt{5} + 3\right)}{2 \sqrt{2 \sqrt{5} + 5} \left|{t}\right|}\end{array}\right]$$$。

行列 $$$U$$$、$$$\Sigma$$$、および $$$V$$$ は、元の行列が $$$\left[\begin{array}{cc}t & - t\\0 & t\end{array}\right] = U \Sigma V^T$$$ となるように定められている。

$$$U = \left[\begin{array}{cc}\frac{- \sqrt{2} + \sqrt{10}}{2 \sqrt{5 - \sqrt{5}}} & - \frac{\sqrt{2} + \sqrt{10}}{2 \sqrt{\sqrt{5} + 5}}\\\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{5 - \sqrt{5}}} & \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{\sqrt{5} + 5}}\end{array}\right]\approx \left[\begin{array}{cc}0.525731112119134 & -0.85065080835204\\0.85065080835204 & 0.525731112119134\end{array}\right]$$$A

$$$\Sigma = \left[\begin{array}{cc}\frac{\sqrt{2} \sqrt{3 - \sqrt{5}} \left|{t}\right|}{2} & 0\\0 & \frac{\sqrt{2} \sqrt{\sqrt{5} + 3} \left|{t}\right|}{2}\end{array}\right]\approx \left[\begin{array}{cc}0.618033988749895 \left|{t}\right| & 0\\0 & 1.618033988749895 \left|{t}\right|\end{array}\right]$$$A

$$$V = \left[\begin{array}{cc}\frac{t \left(-1 + \sqrt{5}\right)}{2 \sqrt{5 - 2 \sqrt{5}} \left|{t}\right|} & - \frac{t \left(1 + \sqrt{5}\right)}{2 \sqrt{2 \sqrt{5} + 5} \left|{t}\right|}\\\frac{t \left(3 - \sqrt{5}\right)}{2 \sqrt{5 - 2 \sqrt{5}} \left|{t}\right|} & \frac{t \left(\sqrt{5} + 3\right)}{2 \sqrt{2 \sqrt{5} + 5} \left|{t}\right|}\end{array}\right]\approx \left[\begin{array}{cc}\frac{0.85065080835204 t}{\left|{t}\right|} & - \frac{0.525731112119134 t}{\left|{t}\right|}\\\frac{0.525731112119134 t}{\left|{t}\right|} & \frac{0.85065080835204 t}{\left|{t}\right|}\end{array}\right]$$$A