$$$\left[\begin{array}{c}2 \sqrt{2}\\2 \sqrt{2}\end{array}\right]$$$ の特異値分解

$$$\left[\begin{array}{c}2 \sqrt{2}\\2 \sqrt{2}\end{array}\right]$$$ の特異値分解を求めよ。

行列の転置を求めよ: $$$\left[\begin{array}{c}2 \sqrt{2}\\2 \sqrt{2}\end{array}\right]^{T} = \left[\begin{array}{cc}2 \sqrt{2} & 2 \sqrt{2}\end{array}\right]$$$（手順は転置行列計算機を参照）。

行列とその転置の積を求める: $$$W = \left[\begin{array}{c}2 \sqrt{2}\\2 \sqrt{2}\end{array}\right]\cdot \left[\begin{array}{cc}2 \sqrt{2} & 2 \sqrt{2}\end{array}\right] = \left[\begin{array}{cc}8 & 8\\8 & 8\end{array}\right]$$$（手順は 行列積計算機 を参照）。

次に、$$$W$$$ の固有値と固有ベクトルを求めなさい（手順は eigenvalues and eigenvectors calculator を参照）。

固有値：$$$16$$$、固有ベクトル：$$$\left[\begin{array}{c}1\\1\end{array}\right]$$$。

固有値：$$$0$$$、固有ベクトル：$$$\left[\begin{array}{c}-1\\1\end{array}\right]$$$。

ゼロでない固有値 ($$$\sigma_{i}$$$) の平方根を求めよ:

$$$\sigma_{1} = 4$$$

$$$\Sigma$$$ 行列は、対角成分が $$$\sigma_{i}$$$、それ以外が 0 の行列である: $$$\Sigma = \left[\begin{array}{c}4\\0\end{array}\right]$$$

行列 $$$U$$$ の列ベクトルは正規化された（単位）ベクトルである: $$$U = \left[\begin{array}{cc}\frac{\sqrt{2}}{2} & - \frac{\sqrt{2}}{2}\\\frac{\sqrt{2}}{2} & \frac{\sqrt{2}}{2}\end{array}\right]$$$（単位ベクトルを求める手順は 単位ベクトル計算機 を参照）。

ここで、$$$v_{i} = \frac{1}{\sigma_{i}}\cdot \left[\begin{array}{c}2 \sqrt{2}\\2 \sqrt{2}\end{array}\right]^{T}\cdot u_{i}$$$:

$$$v_{1} = \frac{1}{\sigma_{1}}\cdot \left[\begin{array}{c}2 \sqrt{2}\\2 \sqrt{2}\end{array}\right]^{T}\cdot u_{1} = \frac{1}{4}\cdot \left[\begin{array}{cc}2 \sqrt{2} & 2 \sqrt{2}\end{array}\right]\cdot \left[\begin{array}{c}\frac{\sqrt{2}}{2}\\\frac{\sqrt{2}}{2}\end{array}\right] = \left[\begin{array}{c}1\end{array}\right]$$$（手順は 行列のスカラー倍計算機 および 行列積計算機 を参照してください）。

したがって、$$$V = \left[\begin{array}{c}1\end{array}\right]$$$。

行列 $$$U$$$、$$$\Sigma$$$、および $$$V$$$ は、元の行列が $$$\left[\begin{array}{c}2 \sqrt{2}\\2 \sqrt{2}\end{array}\right] = U \Sigma V^T$$$ となるように定められている。

$$$U = \left[\begin{array}{cc}\frac{\sqrt{2}}{2} & - \frac{\sqrt{2}}{2}\\\frac{\sqrt{2}}{2} & \frac{\sqrt{2}}{2}\end{array}\right]\approx \left[\begin{array}{cc}0.707106781186548 & -0.707106781186548\\0.707106781186548 & 0.707106781186548\end{array}\right]$$$A

$$$\Sigma = \left[\begin{array}{c}4\\0\end{array}\right]$$$A

$$$V = \left[\begin{array}{c}1\end{array}\right]$$$A