$$$e^{\left[\begin{array}{cc}t & - t\\0 & t\end{array}\right]}$$$

$$$e^{\left[\begin{array}{cc}t & - t\\0 & t\end{array}\right]}$$$ を求めよ。

まず、行列を対角化します（手順は 行列の対角化計算機 を参照）。

この行列は対角化可能ではないので、対角行列 $$$D = \left[\begin{array}{cc}t & 0\\0 & t\end{array}\right]$$$ と冪零行列 $$$N = \left[\begin{array}{cc}0 & - t\\0 & 0\end{array}\right]$$$ の和として表せ。

$$$N^{2} = \left[\begin{array}{cc}0 & 0\\0 & 0\end{array}\right]$$$であることに注意してください。

これは $$$e^{N} = I + N$$$、すなわち $$$e^{\left[\begin{array}{cc}0 & - t\\0 & 0\end{array}\right]} = \left[\begin{array}{cc}1 & 0\\0 & 1\end{array}\right] + \left[\begin{array}{cc}0 & - t\\0 & 0\end{array}\right] = \left[\begin{array}{cc}1 & - t\\0 & 1\end{array}\right]$$$ であることを意味します。

対角行列の指数（行列指数）は、各対角要素に指数関数を適用した行列である：$$$e^{\left[\begin{array}{cc}t & 0\\0 & t\end{array}\right]} = \left[\begin{array}{cc}e^{t} & 0\\0 & e^{t}\end{array}\right]$$$。

ここで、$$$e^{\left[\begin{array}{cc}t & - t\\0 & t\end{array}\right]} = e^{\left[\begin{array}{cc}t & 0\\0 & t\end{array}\right] + \left[\begin{array}{cc}0 & - t\\0 & 0\end{array}\right]} = e^{\left[\begin{array}{cc}t & 0\\0 & t\end{array}\right]}\cdot e^{\left[\begin{array}{cc}0 & - t\\0 & 0\end{array}\right]} = \left[\begin{array}{cc}e^{t} & 0\\0 & e^{t}\end{array}\right]\cdot \left[\begin{array}{cc}1 & - t\\0 & 1\end{array}\right]$$$。

最後に、行列を掛け合わせます:

$$$\left[\begin{array}{cc}e^{t} & 0\\0 & e^{t}\end{array}\right]\cdot \left[\begin{array}{cc}1 & - t\\0 & 1\end{array}\right] = \left[\begin{array}{cc}e^{t} & - t e^{t}\\0 & e^{t}\end{array}\right]$$$（手順については、行列積計算機を参照してください）。

$$$e^{\left[\begin{array}{cc}t & - t\\0 & t\end{array}\right]} = \left[\begin{array}{cc}e^{t} & - t e^{t}\\0 & e^{t}\end{array}\right]$$$A