$$$\left[\begin{array}{cc}1 & 2\\3 & 4\end{array}\right]$$$ を対角化せよ

$$$\left[\begin{array}{cc}1 & 2\\3 & 4\end{array}\right]$$$ を対角化せよ。

まず、固有値と固有ベクトルを求めます（手順は eigenvalues and eigenvectors calculator を参照してください）。

固有値：$$$- \frac{-5 + \sqrt{33}}{2}$$$、固有ベクトル：$$$\left[\begin{array}{c}- \frac{3 + \sqrt{33}}{6}\\1\end{array}\right]$$$。

固有値：$$$\frac{5 + \sqrt{33}}{2}$$$、固有ベクトル：$$$\left[\begin{array}{c}\frac{-3 + \sqrt{33}}{6}\\1\end{array}\right]$$$。

列$$$i$$$が$$$i$$$番目の固有ベクトルとなるような行列$$$P$$$を構成する: $$$P = \left[\begin{array}{cc}- \frac{3 + \sqrt{33}}{6} & \frac{-3 + \sqrt{33}}{6}\\1 & 1\end{array}\right]$$$

対角行列 $$$D$$$ を作り、$$$i$$$ 行 $$$i$$$ 列の要素を $$$i$$$ 番目の固有値とする：$$$D = \left[\begin{array}{cc}- \frac{-5 + \sqrt{33}}{2} & 0\\0 & \frac{5 + \sqrt{33}}{2}\end{array}\right]$$$

行列 $$$P$$$ と $$$D$$$ は、元の行列が $$$\left[\begin{array}{cc}1 & 2\\3 & 4\end{array}\right] = P D P^{-1}$$$ となるように取られている。

$$$P^{-1} = \left[\begin{array}{cc}- \frac{\sqrt{33}}{11} & - \frac{-11 + \sqrt{33}}{22}\\\frac{\sqrt{33}}{11} & \frac{\sqrt{33} + 11}{22}\end{array}\right]$$$ (手順については、逆行列計算機を参照してください).

$$$P = \left[\begin{array}{cc}- \frac{3 + \sqrt{33}}{6} & \frac{-3 + \sqrt{33}}{6}\\1 & 1\end{array}\right]\approx \left[\begin{array}{cc}-1.457427107756338 & 0.457427107756338\\1 & 1\end{array}\right]$$$A

$$$D = \left[\begin{array}{cc}- \frac{-5 + \sqrt{33}}{2} & 0\\0 & \frac{5 + \sqrt{33}}{2}\end{array}\right]\approx \left[\begin{array}{cc}-0.372281323269014 & 0\\0 & 5.372281323269014\end{array}\right]$$$A

$$$P^{-1} = \left[\begin{array}{cc}- \frac{\sqrt{33}}{11} & - \frac{-11 + \sqrt{33}}{22}\\\frac{\sqrt{33}}{11} & \frac{\sqrt{33} + 11}{22}\end{array}\right]\approx \left[\begin{array}{cc}-0.522232967867094 & 0.238883516066453\\0.522232967867094 & 0.761116483933547\end{array}\right]$$$A