$$$\left[\begin{array}{cc}1 & 2\\3 & 4\end{array}\right]$$$ の固有値と固有ベクトル

$$$\left[\begin{array}{cc}1 & 2\\3 & 4\end{array}\right]$$$ の固有値と固有ベクトルを求めよ。

まず、与えられた行列 $$$\left[\begin{array}{cc}1 - \lambda & 2\\3 & 4 - \lambda\end{array}\right]$$$ の対角成分から $$$\lambda$$$ を差し引いて新しい行列を作成することから始めます。

得られた行列の行列式は $$$\lambda^{2} - 5 \lambda - 2$$$ です（手順は 行列式計算機 を参照）。

方程式 $$$\lambda^{2} - 5 \lambda - 2 = 0$$$ を解いてください。

根は $$$\lambda_{1} = - \frac{-5 + \sqrt{33}}{2}$$$, $$$\lambda_{2} = \frac{5 + \sqrt{33}}{2}$$$ です（手順については equation solver を参照してください）。

これらが固有値です。

次に、固有ベクトルを求めます。

• $$$\lambda = - \frac{-5 + \sqrt{33}}{2}$$$

  $$$\left[\begin{array}{cc}1 - \lambda & 2\\3 & 4 - \lambda\end{array}\right] = \left[\begin{array}{cc}\frac{-5 + \sqrt{33}}{2} + 1 & 2\\3 & \frac{-5 + \sqrt{33}}{2} + 4\end{array}\right]$$$

  この行列の零空間は $$$\left\{\left[\begin{array}{c}- \frac{3 + \sqrt{33}}{6}\\1\end{array}\right]\right\}$$$ です（手順については 零空間計算機 を参照してください）。

  これは固有ベクトルです。

• $$$\lambda = \frac{5 + \sqrt{33}}{2}$$$

  $$$\left[\begin{array}{cc}1 - \lambda & 2\\3 & 4 - \lambda\end{array}\right] = \left[\begin{array}{cc}1 - \frac{5 + \sqrt{33}}{2} & 2\\3 & 4 - \frac{5 + \sqrt{33}}{2}\end{array}\right]$$$

  この行列の零空間は $$$\left\{\left[\begin{array}{c}\frac{-3 + \sqrt{33}}{6}\\1\end{array}\right]\right\}$$$ です（手順については 零空間計算機 を参照してください）。

  これは固有ベクトルです。

固有値: $$$- \frac{-5 + \sqrt{33}}{2}\approx -0.372281323269014$$$A、重複度: $$$1$$$A、固有ベクトル: $$$\left[\begin{array}{c}- \frac{3 + \sqrt{33}}{6}\\1\end{array}\right]\approx \left[\begin{array}{c}-1.457427107756338\\1\end{array}\right]$$$A。

固有値: $$$\frac{5 + \sqrt{33}}{2}\approx 5.372281323269014$$$A、重複度: $$$1$$$A、固有ベクトル: $$$\left[\begin{array}{c}\frac{-3 + \sqrt{33}}{6}\\1\end{array}\right]\approx \left[\begin{array}{c}0.457427107756338\\1\end{array}\right]$$$A。