$$$28 x z \ln\left(x^{2}\right)$$$ の $$$x$$$ に関する積分

$$$\int 28 x z \ln\left(x^{2}\right)\, dx$$$ を求めよ。

入力は次のように書き換えられます: $$$\int{28 x z \ln{\left(x^{2} \right)} d x}=\int{56 x z \ln{\left(x \right)} d x}$$$。

定数倍の法則 $$$\int c f{\left(x \right)}\, dx = c \int f{\left(x \right)}\, dx$$$ を、$$$c=56 z$$$ と $$$f{\left(x \right)} = x \ln{\left(x \right)}$$$ に対して適用する:

$${\color{red}{\int{56 x z \ln{\left(x \right)} d x}}} = {\color{red}{\left(56 z \int{x \ln{\left(x \right)} d x}\right)}}$$

積分 $$$\int{x \ln{\left(x \right)} d x}$$$ には、部分積分法$$$\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$$$を用いてください。

$$$\operatorname{u}=\ln{\left(x \right)}$$$ と $$$\operatorname{dv}=x dx$$$ とする。

したがって、$$$\operatorname{du}=\left(\ln{\left(x \right)}\right)^{\prime }dx=\frac{dx}{x}$$$（手順は»を参照）および$$$\operatorname{v}=\int{x d x}=\frac{x^{2}}{2}$$$（手順は»を参照）。

積分は次のようになります

$$56 z {\color{red}{\int{x \ln{\left(x \right)} d x}}}=56 z {\color{red}{\left(\ln{\left(x \right)} \cdot \frac{x^{2}}{2}-\int{\frac{x^{2}}{2} \cdot \frac{1}{x} d x}\right)}}=56 z {\color{red}{\left(\frac{x^{2} \ln{\left(x \right)}}{2} - \int{\frac{x}{2} d x}\right)}}$$

定数倍の法則 $$$\int c f{\left(x \right)}\, dx = c \int f{\left(x \right)}\, dx$$$ を、$$$c=\frac{1}{2}$$$ と $$$f{\left(x \right)} = x$$$ に対して適用する:

$$56 z \left(\frac{x^{2} \ln{\left(x \right)}}{2} - {\color{red}{\int{\frac{x}{2} d x}}}\right) = 56 z \left(\frac{x^{2} \ln{\left(x \right)}}{2} - {\color{red}{\left(\frac{\int{x d x}}{2}\right)}}\right)$$

$$$n=1$$$ を用いて、べき乗の法則 $$$\int x^{n}\, dx = \frac{x^{n + 1}}{n + 1}$$$ $$$\left(n \neq -1 \right)$$$ を適用します:

$$56 z \left(\frac{x^{2} \ln{\left(x \right)}}{2} - \frac{{\color{red}{\int{x d x}}}}{2}\right)=56 z \left(\frac{x^{2} \ln{\left(x \right)}}{2} - \frac{{\color{red}{\frac{x^{1 + 1}}{1 + 1}}}}{2}\right)=56 z \left(\frac{x^{2} \ln{\left(x \right)}}{2} - \frac{{\color{red}{\left(\frac{x^{2}}{2}\right)}}}{2}\right)$$

したがって、

$$\int{56 x z \ln{\left(x \right)} d x} = 56 z \left(\frac{x^{2} \ln{\left(x \right)}}{2} - \frac{x^{2}}{4}\right)$$

簡単化せよ:

$$\int{56 x z \ln{\left(x \right)} d x} = 14 x^{2} z \left(2 \ln{\left(x \right)} - 1\right)$$

積分定数を加える:

$$\int{56 x z \ln{\left(x \right)} d x} = 14 x^{2} z \left(2 \ln{\left(x \right)} - 1\right)+C$$

$$$\int 28 x z \ln\left(x^{2}\right)\, dx = 14 x^{2} z \left(2 \ln\left(x\right) - 1\right) + C$$$A