$$$x - \ln^{2}\left(x\right)$$$の積分

$$$\int \left(x - \ln^{2}\left(x\right)\right)\, dx$$$ を求めよ。

項別に積分せよ:

$${\color{red}{\int{\left(x - \ln{\left(x \right)}^{2}\right)d x}}} = {\color{red}{\left(\int{x d x} - \int{\ln{\left(x \right)}^{2} d x}\right)}}$$

$$$n=1$$$ を用いて、べき乗の法則 $$$\int x^{n}\, dx = \frac{x^{n + 1}}{n + 1}$$$ $$$\left(n \neq -1 \right)$$$ を適用します:

$$- \int{\ln{\left(x \right)}^{2} d x} + {\color{red}{\int{x d x}}}=- \int{\ln{\left(x \right)}^{2} d x} + {\color{red}{\frac{x^{1 + 1}}{1 + 1}}}=- \int{\ln{\left(x \right)}^{2} d x} + {\color{red}{\left(\frac{x^{2}}{2}\right)}}$$

積分 $$$\int{\ln{\left(x \right)}^{2} d x}$$$ には、部分積分法$$$\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$$$を用いてください。

$$$\operatorname{u}=\ln{\left(x \right)}^{2}$$$ と $$$\operatorname{dv}=dx$$$ とする。

したがって、$$$\operatorname{du}=\left(\ln{\left(x \right)}^{2}\right)^{\prime }dx=\frac{2 \ln{\left(x \right)}}{x} dx$$$（手順は»を参照）および$$$\operatorname{v}=\int{1 d x}=x$$$（手順は»を参照）。

したがって、

$$\frac{x^{2}}{2} - {\color{red}{\int{\ln{\left(x \right)}^{2} d x}}}=\frac{x^{2}}{2} - {\color{red}{\left(\ln{\left(x \right)}^{2} \cdot x-\int{x \cdot \frac{2 \ln{\left(x \right)}}{x} d x}\right)}}=\frac{x^{2}}{2} - {\color{red}{\left(x \ln{\left(x \right)}^{2} - \int{2 \ln{\left(x \right)} d x}\right)}}$$

定数倍の法則 $$$\int c f{\left(x \right)}\, dx = c \int f{\left(x \right)}\, dx$$$ を、$$$c=2$$$ と $$$f{\left(x \right)} = \ln{\left(x \right)}$$$ に対して適用する:

$$\frac{x^{2}}{2} - x \ln{\left(x \right)}^{2} + {\color{red}{\int{2 \ln{\left(x \right)} d x}}} = \frac{x^{2}}{2} - x \ln{\left(x \right)}^{2} + {\color{red}{\left(2 \int{\ln{\left(x \right)} d x}\right)}}$$

積分 $$$\int{\ln{\left(x \right)} d x}$$$ には、部分積分法$$$\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$$$を用いてください。

$$$\operatorname{u}=\ln{\left(x \right)}$$$ と $$$\operatorname{dv}=dx$$$ とする。

したがって、$$$\operatorname{du}=\left(\ln{\left(x \right)}\right)^{\prime }dx=\frac{dx}{x}$$$（手順は»を参照）および$$$\operatorname{v}=\int{1 d x}=x$$$（手順は»を参照）。

この積分は次のように書き換えられる

$$\frac{x^{2}}{2} - x \ln{\left(x \right)}^{2} + 2 {\color{red}{\int{\ln{\left(x \right)} d x}}}=\frac{x^{2}}{2} - x \ln{\left(x \right)}^{2} + 2 {\color{red}{\left(\ln{\left(x \right)} \cdot x-\int{x \cdot \frac{1}{x} d x}\right)}}=\frac{x^{2}}{2} - x \ln{\left(x \right)}^{2} + 2 {\color{red}{\left(x \ln{\left(x \right)} - \int{1 d x}\right)}}$$

$$$c=1$$$ に対して定数則 $$$\int c\, dx = c x$$$ を適用する:

$$\frac{x^{2}}{2} - x \ln{\left(x \right)}^{2} + 2 x \ln{\left(x \right)} - 2 {\color{red}{\int{1 d x}}} = \frac{x^{2}}{2} - x \ln{\left(x \right)}^{2} + 2 x \ln{\left(x \right)} - 2 {\color{red}{x}}$$

したがって、

$$\int{\left(x - \ln{\left(x \right)}^{2}\right)d x} = \frac{x^{2}}{2} - x \ln{\left(x \right)}^{2} + 2 x \ln{\left(x \right)} - 2 x$$

簡単化せよ:

$$\int{\left(x - \ln{\left(x \right)}^{2}\right)d x} = \frac{x \left(x - 2 \ln{\left(x \right)}^{2} + 4 \ln{\left(x \right)} - 4\right)}{2}$$

積分定数を加える:

$$\int{\left(x - \ln{\left(x \right)}^{2}\right)d x} = \frac{x \left(x - 2 \ln{\left(x \right)}^{2} + 4 \ln{\left(x \right)} - 4\right)}{2}+C$$

$$$\int \left(x - \ln^{2}\left(x\right)\right)\, dx = \frac{x \left(x - 2 \ln^{2}\left(x\right) + 4 \ln\left(x\right) - 4\right)}{2} + C$$$A