$$$x \sin{\left(2 x \right)}$$$の積分

$$$\int x \sin{\left(2 x \right)}\, dx$$$ を求めよ。

積分 $$$\int{x \sin{\left(2 x \right)} d x}$$$ には、部分積分法$$$\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$$$を用いてください。

$$$\operatorname{u}=x$$$ と $$$\operatorname{dv}=\sin{\left(2 x \right)} dx$$$ とする。

したがって、$$$\operatorname{du}=\left(x\right)^{\prime }dx=1 dx$$$（手順は»を参照）および$$$\operatorname{v}=\int{\sin{\left(2 x \right)} d x}=- \frac{\cos{\left(2 x \right)}}{2}$$$（手順は»を参照）。

積分は次のようになります

$${\color{red}{\int{x \sin{\left(2 x \right)} d x}}}={\color{red}{\left(x \cdot \left(- \frac{\cos{\left(2 x \right)}}{2}\right)-\int{\left(- \frac{\cos{\left(2 x \right)}}{2}\right) \cdot 1 d x}\right)}}={\color{red}{\left(- \frac{x \cos{\left(2 x \right)}}{2} - \int{\left(- \frac{\cos{\left(2 x \right)}}{2}\right)d x}\right)}}$$

定数倍の法則 $$$\int c f{\left(x \right)}\, dx = c \int f{\left(x \right)}\, dx$$$ を、$$$c=- \frac{1}{2}$$$ と $$$f{\left(x \right)} = \cos{\left(2 x \right)}$$$ に対して適用する:

$$- \frac{x \cos{\left(2 x \right)}}{2} - {\color{red}{\int{\left(- \frac{\cos{\left(2 x \right)}}{2}\right)d x}}} = - \frac{x \cos{\left(2 x \right)}}{2} - {\color{red}{\left(- \frac{\int{\cos{\left(2 x \right)} d x}}{2}\right)}}$$

$$$u=2 x$$$ とする。

すると $$$du=\left(2 x\right)^{\prime }dx = 2 dx$$$（手順は»で確認できます）、$$$dx = \frac{du}{2}$$$ となります。

積分は次のようになります

$$- \frac{x \cos{\left(2 x \right)}}{2} + \frac{{\color{red}{\int{\cos{\left(2 x \right)} d x}}}}{2} = - \frac{x \cos{\left(2 x \right)}}{2} + \frac{{\color{red}{\int{\frac{\cos{\left(u \right)}}{2} d u}}}}{2}$$

定数倍の法則 $$$\int c f{\left(u \right)}\, du = c \int f{\left(u \right)}\, du$$$ を、$$$c=\frac{1}{2}$$$ と $$$f{\left(u \right)} = \cos{\left(u \right)}$$$ に対して適用する:

$$- \frac{x \cos{\left(2 x \right)}}{2} + \frac{{\color{red}{\int{\frac{\cos{\left(u \right)}}{2} d u}}}}{2} = - \frac{x \cos{\left(2 x \right)}}{2} + \frac{{\color{red}{\left(\frac{\int{\cos{\left(u \right)} d u}}{2}\right)}}}{2}$$

余弦の積分は$$$\int{\cos{\left(u \right)} d u} = \sin{\left(u \right)}$$$:

$$- \frac{x \cos{\left(2 x \right)}}{2} + \frac{{\color{red}{\int{\cos{\left(u \right)} d u}}}}{4} = - \frac{x \cos{\left(2 x \right)}}{2} + \frac{{\color{red}{\sin{\left(u \right)}}}}{4}$$

次のことを思い出してください $$$u=2 x$$$:

$$- \frac{x \cos{\left(2 x \right)}}{2} + \frac{\sin{\left({\color{red}{u}} \right)}}{4} = - \frac{x \cos{\left(2 x \right)}}{2} + \frac{\sin{\left({\color{red}{\left(2 x\right)}} \right)}}{4}$$

したがって、

$$\int{x \sin{\left(2 x \right)} d x} = - \frac{x \cos{\left(2 x \right)}}{2} + \frac{\sin{\left(2 x \right)}}{4}$$

積分定数を加える:

$$\int{x \sin{\left(2 x \right)} d x} = - \frac{x \cos{\left(2 x \right)}}{2} + \frac{\sin{\left(2 x \right)}}{4}+C$$

$$$\int x \sin{\left(2 x \right)}\, dx = \left(- \frac{x \cos{\left(2 x \right)}}{2} + \frac{\sin{\left(2 x \right)}}{4}\right) + C$$$A