$$$- x \cot{\left(x \right)} + x$$$の積分

$$$\int \left(- x \cot{\left(x \right)} + x\right)\, dx$$$ を求めよ。

項別に積分せよ:

$${\color{red}{\int{\left(- x \cot{\left(x \right)} + x\right)d x}}} = {\color{red}{\left(\int{x d x} - \int{x \cot{\left(x \right)} d x}\right)}}$$

$$$n=1$$$ を用いて、べき乗の法則 $$$\int x^{n}\, dx = \frac{x^{n + 1}}{n + 1}$$$ $$$\left(n \neq -1 \right)$$$ を適用します:

$$- \int{x \cot{\left(x \right)} d x} + {\color{red}{\int{x d x}}}=- \int{x \cot{\left(x \right)} d x} + {\color{red}{\frac{x^{1 + 1}}{1 + 1}}}=- \int{x \cot{\left(x \right)} d x} + {\color{red}{\left(\frac{x^{2}}{2}\right)}}$$

積分 $$$\int{x \cot{\left(x \right)} d x}$$$ には、部分積分法$$$\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$$$を用いてください。

$$$\operatorname{u}=x$$$ と $$$\operatorname{dv}=\cot{\left(x \right)} dx$$$ とする。

したがって、$$$\operatorname{du}=\left(x\right)^{\prime }dx=1 dx$$$（手順は»を参照）および$$$\operatorname{v}=\int{\cot{\left(x \right)} d x}=\ln{\left(\sin{\left(x \right)} \right)}$$$（手順は»を参照）。

この積分は次のように書き換えられる

$$\frac{x^{2}}{2} - {\color{red}{\int{x \cot{\left(x \right)} d x}}}=\frac{x^{2}}{2} - {\color{red}{\left(x \cdot \ln{\left(\sin{\left(x \right)} \right)}-\int{\ln{\left(\sin{\left(x \right)} \right)} \cdot 1 d x}\right)}}=\frac{x^{2}}{2} - {\color{red}{\left(x \ln{\left(\sin{\left(x \right)} \right)} - \int{\ln{\left(\sin{\left(x \right)} \right)} d x}\right)}}$$

この積分には閉形式はありません:

$$\frac{x^{2}}{2} - x \ln{\left(\sin{\left(x \right)} \right)} + {\color{red}{\int{\ln{\left(\sin{\left(x \right)} \right)} d x}}} = \frac{x^{2}}{2} - x \ln{\left(\sin{\left(x \right)} \right)} + {\color{red}{\left(\frac{i x^{2}}{2} - x \ln{\left(1 - e^{2 i x} \right)} + x \ln{\left(\sin{\left(x \right)} \right)} + \frac{i \operatorname{Li}_{2}\left(e^{2 i x}\right)}{2}\right)}}$$

したがって、

$$\int{\left(- x \cot{\left(x \right)} + x\right)d x} = \frac{x^{2}}{2} + \frac{i x^{2}}{2} - x \ln{\left(1 - e^{2 i x} \right)} + \frac{i \operatorname{Li}_{2}\left(e^{2 i x}\right)}{2}$$

簡単化せよ:

$$\int{\left(- x \cot{\left(x \right)} + x\right)d x} = \frac{x^{2} \left(1 + i\right)}{2} - x \ln{\left(1 - e^{2 i x} \right)} + \frac{i \operatorname{Li}_{2}\left(e^{2 i x}\right)}{2}$$

積分定数を加える:

$$\int{\left(- x \cot{\left(x \right)} + x\right)d x} = \frac{x^{2} \left(1 + i\right)}{2} - x \ln{\left(1 - e^{2 i x} \right)} + \frac{i \operatorname{Li}_{2}\left(e^{2 i x}\right)}{2}+C$$

$$$\int \left(- x \cot{\left(x \right)} + x\right)\, dx = \left(\frac{x^{2} \left(1 + i\right)}{2} - x \ln\left(1 - e^{2 i x}\right) + \frac{i \operatorname{Li}_{2}\left(e^{2 i x}\right)}{2}\right) + C$$$A