$$$x^{7} e^{- x^{8}}$$$の積分

$$$\int x^{7} e^{- x^{8}}\, dx$$$ を求めよ。

$$$u=- x^{8}$$$ とする。

すると $$$du=\left(- x^{8}\right)^{\prime }dx = - 8 x^{7} dx$$$（手順は»で確認できます）、$$$x^{7} dx = - \frac{du}{8}$$$ となります。

この積分は次のように書き換えられる

$${\color{red}{\int{x^{7} e^{- x^{8}} d x}}} = {\color{red}{\int{\left(- \frac{e^{u}}{8}\right)d u}}}$$

定数倍の法則 $$$\int c f{\left(u \right)}\, du = c \int f{\left(u \right)}\, du$$$ を、$$$c=- \frac{1}{8}$$$ と $$$f{\left(u \right)} = e^{u}$$$ に対して適用する:

$${\color{red}{\int{\left(- \frac{e^{u}}{8}\right)d u}}} = {\color{red}{\left(- \frac{\int{e^{u} d u}}{8}\right)}}$$

指数関数の積分は $$$\int{e^{u} d u} = e^{u}$$$です:

$$- \frac{{\color{red}{\int{e^{u} d u}}}}{8} = - \frac{{\color{red}{e^{u}}}}{8}$$

次のことを思い出してください $$$u=- x^{8}$$$:

$$- \frac{e^{{\color{red}{u}}}}{8} = - \frac{e^{{\color{red}{\left(- x^{8}\right)}}}}{8}$$

したがって、

$$\int{x^{7} e^{- x^{8}} d x} = - \frac{e^{- x^{8}}}{8}$$

積分定数を加える:

$$\int{x^{7} e^{- x^{8}} d x} = - \frac{e^{- x^{8}}}{8}+C$$

$$$\int x^{7} e^{- x^{8}}\, dx = - \frac{e^{- x^{8}}}{8} + C$$$A