$$$\frac{x^{6} e^{2}}{2}$$$の積分

$$$\int \frac{x^{6} e^{2}}{2}\, dx$$$ を求めよ。

定数倍の法則 $$$\int c f{\left(x \right)}\, dx = c \int f{\left(x \right)}\, dx$$$ を、$$$c=\frac{e^{2}}{2}$$$ と $$$f{\left(x \right)} = x^{6}$$$ に対して適用する:

$${\color{red}{\int{\frac{x^{6} e^{2}}{2} d x}}} = {\color{red}{\left(\frac{e^{2} \int{x^{6} d x}}{2}\right)}}$$

$$$n=6$$$ を用いて、べき乗の法則 $$$\int x^{n}\, dx = \frac{x^{n + 1}}{n + 1}$$$ $$$\left(n \neq -1 \right)$$$ を適用します:

$$\frac{e^{2} {\color{red}{\int{x^{6} d x}}}}{2}=\frac{e^{2} {\color{red}{\frac{x^{1 + 6}}{1 + 6}}}}{2}=\frac{e^{2} {\color{red}{\left(\frac{x^{7}}{7}\right)}}}{2}$$

したがって、

$$\int{\frac{x^{6} e^{2}}{2} d x} = \frac{x^{7} e^{2}}{14}$$

積分定数を加える:

$$\int{\frac{x^{6} e^{2}}{2} d x} = \frac{x^{7} e^{2}}{14}+C$$

$$$\int \frac{x^{6} e^{2}}{2}\, dx = \frac{x^{7} e^{2}}{14} + C$$$A