$$$\frac{x^{3}}{18}$$$の積分

$$$\int \frac{x^{3}}{18}\, dx$$$ を求めよ。

定数倍の法則 $$$\int c f{\left(x \right)}\, dx = c \int f{\left(x \right)}\, dx$$$ を、$$$c=\frac{1}{18}$$$ と $$$f{\left(x \right)} = x^{3}$$$ に対して適用する:

$${\color{red}{\int{\frac{x^{3}}{18} d x}}} = {\color{red}{\left(\frac{\int{x^{3} d x}}{18}\right)}}$$

$$$n=3$$$ を用いて、べき乗の法則 $$$\int x^{n}\, dx = \frac{x^{n + 1}}{n + 1}$$$ $$$\left(n \neq -1 \right)$$$ を適用します:

$$\frac{{\color{red}{\int{x^{3} d x}}}}{18}=\frac{{\color{red}{\frac{x^{1 + 3}}{1 + 3}}}}{18}=\frac{{\color{red}{\left(\frac{x^{4}}{4}\right)}}}{18}$$

したがって、

$$\int{\frac{x^{3}}{18} d x} = \frac{x^{4}}{72}$$

積分定数を加える:

$$\int{\frac{x^{3}}{18} d x} = \frac{x^{4}}{72}+C$$

$$$\int \frac{x^{3}}{18}\, dx = \frac{x^{4}}{72} + C$$$A