$$$x^{3} \ln^{2}\left(x\right)$$$の積分

$$$\int x^{3} \ln^{2}\left(x\right)\, dx$$$ を求めよ。

積分 $$$\int{x^{3} \ln{\left(x \right)}^{2} d x}$$$ には、部分積分法$$$\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$$$を用いてください。

$$$\operatorname{u}=\ln{\left(x \right)}^{2}$$$ と $$$\operatorname{dv}=x^{3} dx$$$ とする。

したがって、$$$\operatorname{du}=\left(\ln{\left(x \right)}^{2}\right)^{\prime }dx=\frac{2 \ln{\left(x \right)}}{x} dx$$$（手順は»を参照）および$$$\operatorname{v}=\int{x^{3} d x}=\frac{x^{4}}{4}$$$（手順は»を参照）。

したがって、

$${\color{red}{\int{x^{3} \ln{\left(x \right)}^{2} d x}}}={\color{red}{\left(\ln{\left(x \right)}^{2} \cdot \frac{x^{4}}{4}-\int{\frac{x^{4}}{4} \cdot \frac{2 \ln{\left(x \right)}}{x} d x}\right)}}={\color{red}{\left(\frac{x^{4} \ln{\left(x \right)}^{2}}{4} - \int{\frac{x^{3} \ln{\left(x \right)}}{2} d x}\right)}}$$

定数倍の法則 $$$\int c f{\left(x \right)}\, dx = c \int f{\left(x \right)}\, dx$$$ を、$$$c=\frac{1}{2}$$$ と $$$f{\left(x \right)} = x^{3} \ln{\left(x \right)}$$$ に対して適用する:

$$\frac{x^{4} \ln{\left(x \right)}^{2}}{4} - {\color{red}{\int{\frac{x^{3} \ln{\left(x \right)}}{2} d x}}} = \frac{x^{4} \ln{\left(x \right)}^{2}}{4} - {\color{red}{\left(\frac{\int{x^{3} \ln{\left(x \right)} d x}}{2}\right)}}$$

積分 $$$\int{x^{3} \ln{\left(x \right)} d x}$$$ には、部分積分法$$$\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$$$を用いてください。

$$$\operatorname{u}=\ln{\left(x \right)}$$$ と $$$\operatorname{dv}=x^{3} dx$$$ とする。

したがって、$$$\operatorname{du}=\left(\ln{\left(x \right)}\right)^{\prime }dx=\frac{dx}{x}$$$（手順は»を参照）および$$$\operatorname{v}=\int{x^{3} d x}=\frac{x^{4}}{4}$$$（手順は»を参照）。

したがって、

$$\frac{x^{4} \ln{\left(x \right)}^{2}}{4} - \frac{{\color{red}{\int{x^{3} \ln{\left(x \right)} d x}}}}{2}=\frac{x^{4} \ln{\left(x \right)}^{2}}{4} - \frac{{\color{red}{\left(\ln{\left(x \right)} \cdot \frac{x^{4}}{4}-\int{\frac{x^{4}}{4} \cdot \frac{1}{x} d x}\right)}}}{2}=\frac{x^{4} \ln{\left(x \right)}^{2}}{4} - \frac{{\color{red}{\left(\frac{x^{4} \ln{\left(x \right)}}{4} - \int{\frac{x^{3}}{4} d x}\right)}}}{2}$$

定数倍の法則 $$$\int c f{\left(x \right)}\, dx = c \int f{\left(x \right)}\, dx$$$ を、$$$c=\frac{1}{4}$$$ と $$$f{\left(x \right)} = x^{3}$$$ に対して適用する:

$$\frac{x^{4} \ln{\left(x \right)}^{2}}{4} - \frac{x^{4} \ln{\left(x \right)}}{8} + \frac{{\color{red}{\int{\frac{x^{3}}{4} d x}}}}{2} = \frac{x^{4} \ln{\left(x \right)}^{2}}{4} - \frac{x^{4} \ln{\left(x \right)}}{8} + \frac{{\color{red}{\left(\frac{\int{x^{3} d x}}{4}\right)}}}{2}$$

$$$n=3$$$ を用いて、べき乗の法則 $$$\int x^{n}\, dx = \frac{x^{n + 1}}{n + 1}$$$ $$$\left(n \neq -1 \right)$$$ を適用します:

$$\frac{x^{4} \ln{\left(x \right)}^{2}}{4} - \frac{x^{4} \ln{\left(x \right)}}{8} + \frac{{\color{red}{\int{x^{3} d x}}}}{8}=\frac{x^{4} \ln{\left(x \right)}^{2}}{4} - \frac{x^{4} \ln{\left(x \right)}}{8} + \frac{{\color{red}{\frac{x^{1 + 3}}{1 + 3}}}}{8}=\frac{x^{4} \ln{\left(x \right)}^{2}}{4} - \frac{x^{4} \ln{\left(x \right)}}{8} + \frac{{\color{red}{\left(\frac{x^{4}}{4}\right)}}}{8}$$

したがって、

$$\int{x^{3} \ln{\left(x \right)}^{2} d x} = \frac{x^{4} \ln{\left(x \right)}^{2}}{4} - \frac{x^{4} \ln{\left(x \right)}}{8} + \frac{x^{4}}{32}$$

簡単化せよ:

$$\int{x^{3} \ln{\left(x \right)}^{2} d x} = \frac{x^{4} \left(8 \ln{\left(x \right)}^{2} - 4 \ln{\left(x \right)} + 1\right)}{32}$$

積分定数を加える:

$$\int{x^{3} \ln{\left(x \right)}^{2} d x} = \frac{x^{4} \left(8 \ln{\left(x \right)}^{2} - 4 \ln{\left(x \right)} + 1\right)}{32}+C$$

$$$\int x^{3} \ln^{2}\left(x\right)\, dx = \frac{x^{4} \left(8 \ln^{2}\left(x\right) - 4 \ln\left(x\right) + 1\right)}{32} + C$$$A