$$$x^{3} \sin{\left(2 \right)}$$$の積分
入力内容
$$$\int x^{3} \sin{\left(2 \right)}\, dx$$$ を求めよ。
解答
定数倍の法則 $$$\int c f{\left(x \right)}\, dx = c \int f{\left(x \right)}\, dx$$$ を、$$$c=\sin{\left(2 \right)}$$$ と $$$f{\left(x \right)} = x^{3}$$$ に対して適用する:
$${\color{red}{\int{x^{3} \sin{\left(2 \right)} d x}}} = {\color{red}{\sin{\left(2 \right)} \int{x^{3} d x}}}$$
$$$n=3$$$ を用いて、べき乗の法則 $$$\int x^{n}\, dx = \frac{x^{n + 1}}{n + 1}$$$ $$$\left(n \neq -1 \right)$$$ を適用します:
$$\sin{\left(2 \right)} {\color{red}{\int{x^{3} d x}}}=\sin{\left(2 \right)} {\color{red}{\frac{x^{1 + 3}}{1 + 3}}}=\sin{\left(2 \right)} {\color{red}{\left(\frac{x^{4}}{4}\right)}}$$
したがって、
$$\int{x^{3} \sin{\left(2 \right)} d x} = \frac{x^{4} \sin{\left(2 \right)}}{4}$$
積分定数を加える:
$$\int{x^{3} \sin{\left(2 \right)} d x} = \frac{x^{4} \sin{\left(2 \right)}}{4}+C$$
解答
$$$\int x^{3} \sin{\left(2 \right)}\, dx = \frac{x^{4} \sin{\left(2 \right)}}{4} + C$$$A