$$$\frac{x^{2} e^{- x}}{2}$$$の積分

$$$\int \frac{x^{2} e^{- x}}{2}\, dx$$$ を求めよ。

定数倍の法則 $$$\int c f{\left(x \right)}\, dx = c \int f{\left(x \right)}\, dx$$$ を、$$$c=\frac{1}{2}$$$ と $$$f{\left(x \right)} = x^{2} e^{- x}$$$ に対して適用する:

$${\color{red}{\int{\frac{x^{2} e^{- x}}{2} d x}}} = {\color{red}{\left(\frac{\int{x^{2} e^{- x} d x}}{2}\right)}}$$

積分 $$$\int{x^{2} e^{- x} d x}$$$ には、部分積分法$$$\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$$$を用いてください。

$$$\operatorname{u}=x^{2}$$$ と $$$\operatorname{dv}=e^{- x} dx$$$ とする。

したがって、$$$\operatorname{du}=\left(x^{2}\right)^{\prime }dx=2 x dx$$$（手順は»を参照）および$$$\operatorname{v}=\int{e^{- x} d x}=- e^{- x}$$$（手順は»を参照）。

この積分は次のように書き換えられる

$$\frac{{\color{red}{\int{x^{2} e^{- x} d x}}}}{2}=\frac{{\color{red}{\left(x^{2} \cdot \left(- e^{- x}\right)-\int{\left(- e^{- x}\right) \cdot 2 x d x}\right)}}}{2}=\frac{{\color{red}{\left(- x^{2} e^{- x} - \int{\left(- 2 x e^{- x}\right)d x}\right)}}}{2}$$

定数倍の法則 $$$\int c f{\left(x \right)}\, dx = c \int f{\left(x \right)}\, dx$$$ を、$$$c=-2$$$ と $$$f{\left(x \right)} = x e^{- x}$$$ に対して適用する:

$$- \frac{x^{2} e^{- x}}{2} - \frac{{\color{red}{\int{\left(- 2 x e^{- x}\right)d x}}}}{2} = - \frac{x^{2} e^{- x}}{2} - \frac{{\color{red}{\left(- 2 \int{x e^{- x} d x}\right)}}}{2}$$

積分 $$$\int{x e^{- x} d x}$$$ には、部分積分法$$$\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$$$を用いてください。

$$$\operatorname{u}=x$$$ と $$$\operatorname{dv}=e^{- x} dx$$$ とする。

したがって、$$$\operatorname{du}=\left(x\right)^{\prime }dx=1 dx$$$（手順は»を参照）および$$$\operatorname{v}=\int{e^{- x} d x}=- e^{- x}$$$（手順は»を参照）。

したがって、

$$- \frac{x^{2} e^{- x}}{2} + {\color{red}{\int{x e^{- x} d x}}}=- \frac{x^{2} e^{- x}}{2} + {\color{red}{\left(x \cdot \left(- e^{- x}\right)-\int{\left(- e^{- x}\right) \cdot 1 d x}\right)}}=- \frac{x^{2} e^{- x}}{2} + {\color{red}{\left(- x e^{- x} - \int{\left(- e^{- x}\right)d x}\right)}}$$

定数倍の法則 $$$\int c f{\left(x \right)}\, dx = c \int f{\left(x \right)}\, dx$$$ を、$$$c=-1$$$ と $$$f{\left(x \right)} = e^{- x}$$$ に対して適用する:

$$- \frac{x^{2} e^{- x}}{2} - x e^{- x} - {\color{red}{\int{\left(- e^{- x}\right)d x}}} = - \frac{x^{2} e^{- x}}{2} - x e^{- x} - {\color{red}{\left(- \int{e^{- x} d x}\right)}}$$

$$$u=- x$$$ とする。

すると $$$du=\left(- x\right)^{\prime }dx = - dx$$$（手順は»で確認できます）、$$$dx = - du$$$ となります。

したがって、

$$- \frac{x^{2} e^{- x}}{2} - x e^{- x} + {\color{red}{\int{e^{- x} d x}}} = - \frac{x^{2} e^{- x}}{2} - x e^{- x} + {\color{red}{\int{\left(- e^{u}\right)d u}}}$$

定数倍の法則 $$$\int c f{\left(u \right)}\, du = c \int f{\left(u \right)}\, du$$$ を、$$$c=-1$$$ と $$$f{\left(u \right)} = e^{u}$$$ に対して適用する:

$$- \frac{x^{2} e^{- x}}{2} - x e^{- x} + {\color{red}{\int{\left(- e^{u}\right)d u}}} = - \frac{x^{2} e^{- x}}{2} - x e^{- x} + {\color{red}{\left(- \int{e^{u} d u}\right)}}$$

指数関数の積分は $$$\int{e^{u} d u} = e^{u}$$$です:

$$- \frac{x^{2} e^{- x}}{2} - x e^{- x} - {\color{red}{\int{e^{u} d u}}} = - \frac{x^{2} e^{- x}}{2} - x e^{- x} - {\color{red}{e^{u}}}$$

次のことを思い出してください $$$u=- x$$$:

$$- \frac{x^{2} e^{- x}}{2} - x e^{- x} - e^{{\color{red}{u}}} = - \frac{x^{2} e^{- x}}{2} - x e^{- x} - e^{{\color{red}{\left(- x\right)}}}$$

したがって、

$$\int{\frac{x^{2} e^{- x}}{2} d x} = - \frac{x^{2} e^{- x}}{2} - x e^{- x} - e^{- x}$$

簡単化せよ:

$$\int{\frac{x^{2} e^{- x}}{2} d x} = \left(- \frac{x^{2}}{2} - x - 1\right) e^{- x}$$

積分定数を加える:

$$\int{\frac{x^{2} e^{- x}}{2} d x} = \left(- \frac{x^{2}}{2} - x - 1\right) e^{- x}+C$$

$$$\int \frac{x^{2} e^{- x}}{2}\, dx = \left(- \frac{x^{2}}{2} - x - 1\right) e^{- x} + C$$$A