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$$$- x^{3} + x$$$の積分
入力内容
$$$\int \left(- x^{3} + x\right)\, dx$$$ を求めよ。
解答
項別に積分せよ:
$${\color{red}{\int{\left(- x^{3} + x\right)d x}}} = {\color{red}{\left(\int{x d x} - \int{x^{3} d x}\right)}}$$
$$$n=1$$$ を用いて、べき乗の法則 $$$\int x^{n}\, dx = \frac{x^{n + 1}}{n + 1}$$$ $$$\left(n \neq -1 \right)$$$ を適用します:
$$- \int{x^{3} d x} + {\color{red}{\int{x d x}}}=- \int{x^{3} d x} + {\color{red}{\frac{x^{1 + 1}}{1 + 1}}}=- \int{x^{3} d x} + {\color{red}{\left(\frac{x^{2}}{2}\right)}}$$
$$$n=3$$$ を用いて、べき乗の法則 $$$\int x^{n}\, dx = \frac{x^{n + 1}}{n + 1}$$$ $$$\left(n \neq -1 \right)$$$ を適用します:
$$\frac{x^{2}}{2} - {\color{red}{\int{x^{3} d x}}}=\frac{x^{2}}{2} - {\color{red}{\frac{x^{1 + 3}}{1 + 3}}}=\frac{x^{2}}{2} - {\color{red}{\left(\frac{x^{4}}{4}\right)}}$$
したがって、
$$\int{\left(- x^{3} + x\right)d x} = - \frac{x^{4}}{4} + \frac{x^{2}}{2}$$
簡単化せよ:
$$\int{\left(- x^{3} + x\right)d x} = \frac{x^{2} \left(2 - x^{2}\right)}{4}$$
積分定数を加える:
$$\int{\left(- x^{3} + x\right)d x} = \frac{x^{2} \left(2 - x^{2}\right)}{4}+C$$
解答
$$$\int \left(- x^{3} + x\right)\, dx = \frac{x^{2} \left(2 - x^{2}\right)}{4} + C$$$A