$$$x \sin{\left(x^{2} \right)}$$$の積分

$$$\int x \sin{\left(x^{2} \right)}\, dx$$$ を求めよ。

$$$u=x^{2}$$$ とする。

すると $$$du=\left(x^{2}\right)^{\prime }dx = 2 x dx$$$（手順は»で確認できます）、$$$x dx = \frac{du}{2}$$$ となります。

積分は次のようになります

$${\color{red}{\int{x \sin{\left(x^{2} \right)} d x}}} = {\color{red}{\int{\frac{\sin{\left(u \right)}}{2} d u}}}$$

定数倍の法則 $$$\int c f{\left(u \right)}\, du = c \int f{\left(u \right)}\, du$$$ を、$$$c=\frac{1}{2}$$$ と $$$f{\left(u \right)} = \sin{\left(u \right)}$$$ に対して適用する:

$${\color{red}{\int{\frac{\sin{\left(u \right)}}{2} d u}}} = {\color{red}{\left(\frac{\int{\sin{\left(u \right)} d u}}{2}\right)}}$$

正弦関数の不定積分は$$$\int{\sin{\left(u \right)} d u} = - \cos{\left(u \right)}$$$です:

$$\frac{{\color{red}{\int{\sin{\left(u \right)} d u}}}}{2} = \frac{{\color{red}{\left(- \cos{\left(u \right)}\right)}}}{2}$$

次のことを思い出してください $$$u=x^{2}$$$:

$$- \frac{\cos{\left({\color{red}{u}} \right)}}{2} = - \frac{\cos{\left({\color{red}{x^{2}}} \right)}}{2}$$

したがって、

$$\int{x \sin{\left(x^{2} \right)} d x} = - \frac{\cos{\left(x^{2} \right)}}{2}$$

積分定数を加える:

$$\int{x \sin{\left(x^{2} \right)} d x} = - \frac{\cos{\left(x^{2} \right)}}{2}+C$$

$$$\int x \sin{\left(x^{2} \right)}\, dx = - \frac{\cos{\left(x^{2} \right)}}{2} + C$$$A