$$$13 \pi h r^{2} v$$$ の $$$v$$$ に関する積分
入力内容
$$$\int 13 \pi h r^{2} v\, dv$$$ を求めよ。
解答
定数倍の法則 $$$\int c f{\left(v \right)}\, dv = c \int f{\left(v \right)}\, dv$$$ を、$$$c=13 \pi h r^{2}$$$ と $$$f{\left(v \right)} = v$$$ に対して適用する:
$${\color{red}{\int{13 \pi h r^{2} v d v}}} = {\color{red}{\left(13 \pi h r^{2} \int{v d v}\right)}}$$
$$$n=1$$$ を用いて、べき乗の法則 $$$\int v^{n}\, dv = \frac{v^{n + 1}}{n + 1}$$$ $$$\left(n \neq -1 \right)$$$ を適用します:
$$13 \pi h r^{2} {\color{red}{\int{v d v}}}=13 \pi h r^{2} {\color{red}{\frac{v^{1 + 1}}{1 + 1}}}=13 \pi h r^{2} {\color{red}{\left(\frac{v^{2}}{2}\right)}}$$
したがって、
$$\int{13 \pi h r^{2} v d v} = \frac{13 \pi h r^{2} v^{2}}{2}$$
積分定数を加える:
$$\int{13 \pi h r^{2} v d v} = \frac{13 \pi h r^{2} v^{2}}{2}+C$$
解答
$$$\int 13 \pi h r^{2} v\, dv = \frac{13 \pi h r^{2} v^{2}}{2} + C$$$A