$$$\tan^{2}{\left(u \right)}$$$の積分

$$$\int \tan^{2}{\left(u \right)}\, du$$$ を求めよ。

$$$v=\tan{\left(u \right)}$$$ とする。

すると $$$u=\operatorname{atan}{\left(v \right)}$$$ および $$$du=\left(\operatorname{atan}{\left(v \right)}\right)^{\prime }dv = \frac{dv}{v^{2} + 1}$$$（手順は»で確認できます）。

したがって、

$${\color{red}{\int{\tan^{2}{\left(u \right)} d u}}} = {\color{red}{\int{\frac{v^{2}}{v^{2} + 1} d v}}}$$

分数を変形して分解する:

$${\color{red}{\int{\frac{v^{2}}{v^{2} + 1} d v}}} = {\color{red}{\int{\left(1 - \frac{1}{v^{2} + 1}\right)d v}}}$$

項別に積分せよ:

$${\color{red}{\int{\left(1 - \frac{1}{v^{2} + 1}\right)d v}}} = {\color{red}{\left(\int{1 d v} - \int{\frac{1}{v^{2} + 1} d v}\right)}}$$

$$$c=1$$$ に対して定数則 $$$\int c\, dv = c v$$$ を適用する:

$$- \int{\frac{1}{v^{2} + 1} d v} + {\color{red}{\int{1 d v}}} = - \int{\frac{1}{v^{2} + 1} d v} + {\color{red}{v}}$$

$$$\frac{1}{v^{2} + 1}$$$ の不定積分は $$$\int{\frac{1}{v^{2} + 1} d v} = \operatorname{atan}{\left(v \right)}$$$ です:

$$v - {\color{red}{\int{\frac{1}{v^{2} + 1} d v}}} = v - {\color{red}{\operatorname{atan}{\left(v \right)}}}$$

次のことを思い出してください $$$v=\tan{\left(u \right)}$$$:

$$- \operatorname{atan}{\left({\color{red}{v}} \right)} + {\color{red}{v}} = - \operatorname{atan}{\left({\color{red}{\tan{\left(u \right)}}} \right)} + {\color{red}{\tan{\left(u \right)}}}$$

したがって、

$$\int{\tan^{2}{\left(u \right)} d u} = \tan{\left(u \right)} - \operatorname{atan}{\left(\tan{\left(u \right)} \right)}$$

簡単化せよ:

$$\int{\tan^{2}{\left(u \right)} d u} = - u + \tan{\left(u \right)}$$

積分定数を加える:

$$\int{\tan^{2}{\left(u \right)} d u} = - u + \tan{\left(u \right)}+C$$

$$$\int \tan^{2}{\left(u \right)}\, du = \left(- u + \tan{\left(u \right)}\right) + C$$$A