$$$\sqrt{\frac{1 - x}{x + 1}}$$$の積分

$$$\int \sqrt{\frac{1 - x}{x + 1}}\, dx$$$ を求めよ。

入力は次のように書き換えられます: $$$\int{\sqrt{\frac{1 - x}{x + 1}} d x}=\int{\frac{\sqrt{1 - x}}{\sqrt{x + 1}} d x}$$$。

分子と分母に $$$\sqrt{x + 1}$$$ を掛けて簡単化せよ:

$${\color{red}{\int{\frac{\sqrt{1 - x}}{\sqrt{x + 1}} d x}}} = {\color{red}{\int{\frac{\sqrt{1 - x^{2}}}{x + 1} d x}}}$$

$$$x=\sin{\left(u \right)}$$$ とする。

すると $$$dx=\left(\sin{\left(u \right)}\right)^{\prime }du = \cos{\left(u \right)} du$$$ (手順は»で確認できます)。

また、$$$u=\operatorname{asin}{\left(x \right)}$$$が成り立つ。

したがって、

$$$\frac{\sqrt{1 - x^{2}}}{x + 1} = \frac{\sqrt{1 - \sin^{2}{\left( u \right)}}}{\sin{\left( u \right)} + 1}$$$

恒等式 $$$1 - \sin^{2}{\left( u \right)} = \cos^{2}{\left( u \right)}$$$ を用いよ:

$$$\frac{\sqrt{1 - \sin^{2}{\left( u \right)}}}{\sin{\left( u \right)} + 1}=\frac{\sqrt{\cos^{2}{\left( u \right)}}}{\sin{\left( u \right)} + 1}$$$

$$$\cos{\left( u \right)} \ge 0$$$ を仮定すると、以下が得られる:

$$$\frac{\sqrt{\cos^{2}{\left( u \right)}}}{\sin{\left( u \right)} + 1} = \frac{\cos{\left( u \right)}}{\sin{\left( u \right)} + 1}$$$

積分は次のようになる

$${\color{red}{\int{\frac{\sqrt{1 - x^{2}}}{x + 1} d x}}} = {\color{red}{\int{\frac{\cos^{2}{\left(u \right)}}{\sin{\left(u \right)} + 1} d u}}}$$

余弦を正弦で表し直し、分子をさらに書き換え、平方差の公式を用いて、簡単化せよ。:

$${\color{red}{\int{\frac{\cos^{2}{\left(u \right)}}{\sin{\left(u \right)} + 1} d u}}} = {\color{red}{\int{\left(1 - \sin{\left(u \right)}\right)d u}}}$$

項別に積分せよ:

$${\color{red}{\int{\left(1 - \sin{\left(u \right)}\right)d u}}} = {\color{red}{\left(\int{1 d u} - \int{\sin{\left(u \right)} d u}\right)}}$$

$$$c=1$$$ に対して定数則 $$$\int c\, du = c u$$$ を適用する:

$$- \int{\sin{\left(u \right)} d u} + {\color{red}{\int{1 d u}}} = - \int{\sin{\left(u \right)} d u} + {\color{red}{u}}$$

正弦関数の不定積分は$$$\int{\sin{\left(u \right)} d u} = - \cos{\left(u \right)}$$$です:

$$u - {\color{red}{\int{\sin{\left(u \right)} d u}}} = u - {\color{red}{\left(- \cos{\left(u \right)}\right)}}$$

次のことを思い出してください $$$u=\operatorname{asin}{\left(x \right)}$$$:

$$\cos{\left({\color{red}{u}} \right)} + {\color{red}{u}} = \cos{\left({\color{red}{\operatorname{asin}{\left(x \right)}}} \right)} + {\color{red}{\operatorname{asin}{\left(x \right)}}}$$

したがって、

$$\int{\frac{\sqrt{1 - x}}{\sqrt{x + 1}} d x} = \sqrt{1 - x^{2}} + \operatorname{asin}{\left(x \right)}$$

積分定数を加える:

$$\int{\frac{\sqrt{1 - x}}{\sqrt{x + 1}} d x} = \sqrt{1 - x^{2}} + \operatorname{asin}{\left(x \right)}+C$$

$$$\int \sqrt{\frac{1 - x}{x + 1}}\, dx = \left(\sqrt{1 - x^{2}} + \operatorname{asin}{\left(x \right)}\right) + C$$$A