$$$\frac{\sin{\left(\pi n y \right)}}{2}$$$ の $$$y$$$ に関する積分

$$$\int \frac{\sin{\left(\pi n y \right)}}{2}\, dy$$$ を求めよ。

定数倍の法則 $$$\int c f{\left(y \right)}\, dy = c \int f{\left(y \right)}\, dy$$$ を、$$$c=\frac{1}{2}$$$ と $$$f{\left(y \right)} = \sin{\left(\pi n y \right)}$$$ に対して適用する:

$${\color{red}{\int{\frac{\sin{\left(\pi n y \right)}}{2} d y}}} = {\color{red}{\left(\frac{\int{\sin{\left(\pi n y \right)} d y}}{2}\right)}}$$

$$$u=\pi n y$$$ とする。

すると $$$du=\left(\pi n y\right)^{\prime }dy = \pi n dy$$$（手順は»で確認できます）、$$$dy = \frac{du}{\pi n}$$$ となります。

したがって、

$$\frac{{\color{red}{\int{\sin{\left(\pi n y \right)} d y}}}}{2} = \frac{{\color{red}{\int{\frac{\sin{\left(u \right)}}{\pi n} d u}}}}{2}$$

定数倍の法則 $$$\int c f{\left(u \right)}\, du = c \int f{\left(u \right)}\, du$$$ を、$$$c=\frac{1}{\pi n}$$$ と $$$f{\left(u \right)} = \sin{\left(u \right)}$$$ に対して適用する:

$$\frac{{\color{red}{\int{\frac{\sin{\left(u \right)}}{\pi n} d u}}}}{2} = \frac{{\color{red}{\frac{\int{\sin{\left(u \right)} d u}}{\pi n}}}}{2}$$

正弦関数の不定積分は$$$\int{\sin{\left(u \right)} d u} = - \cos{\left(u \right)}$$$です:

$$\frac{{\color{red}{\int{\sin{\left(u \right)} d u}}}}{2 \pi n} = \frac{{\color{red}{\left(- \cos{\left(u \right)}\right)}}}{2 \pi n}$$

次のことを思い出してください $$$u=\pi n y$$$:

$$- \frac{\cos{\left({\color{red}{u}} \right)}}{2 \pi n} = - \frac{\cos{\left({\color{red}{\pi n y}} \right)}}{2 \pi n}$$

したがって、

$$\int{\frac{\sin{\left(\pi n y \right)}}{2} d y} = - \frac{\cos{\left(\pi n y \right)}}{2 \pi n}$$

積分定数を加える:

$$\int{\frac{\sin{\left(\pi n y \right)}}{2} d y} = - \frac{\cos{\left(\pi n y \right)}}{2 \pi n}+C$$

$$$\int \frac{\sin{\left(\pi n y \right)}}{2}\, dy = - \frac{\cos{\left(\pi n y \right)}}{2 \pi n} + C$$$A